ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 113 
SUR LE NOMBRE DES VARIATIONS D'UN POLYNÔME ENTIER EN ZX DONT LES 
COEFFICIENTS DÉPENDENT D'UN PARAMÈTRE @, par M. D. Anpré. 
(Annales de l’École normale, 3° série, t. Il, p. 75; 1885.) 
On tracera autant d'ordonnées verticales équidistantes que le 
polynôme f(x, &), ordonné par rapport aux puissances décroissantes 
de æ, a de coefficients. Soit =» le nombre des racines positives en « 
du coefficient qui en a le plus de cette espèce : sur l’ordonnée cor- 
respondante, on marquera m gros points. Soit m <m le nombre 
des racines positives d'un autre coefficient : sur l'ordonnée corres- 
pondante, on marquera m' gros’"points à distance finie, plus un gros 
point supplémentaire à distance infinie. En allant de bas en haut 
sur chaque ordonnée, on joindra par un trait le premier gros point 
de l'ordonnée de gauche au premier gros point de l'ordonnée de 
droite suivante, puis par un trait le deuxième gros point de gauche 
au deuxième de droite, et ainsi de suite, en traçant les traits pleins 
ou ponctués, suivant que les deux coefficients présentent, à l'instant 
initial, une permanence ou une variation. On formera ainsi un réseau 
de lignes brisées, que l’on coupera par l'horizontale «. Si l'on appelle 
système impair de traits, l'ensemble des traits supposés en nombre 
impair, compris entre deux ordonnées consécutives et coupés par 
l'horizontale &, on aura ce théorème : 
Le nombre des variations de f(x, «) est égal au nombre des va- 
riations initiales, plus le nombre des systèmes impairs de traits 
pleins coupés par l'horizontale «, moins le nombre des systèmes 
impairs de traits ponctués coupés par cette horizontale. 
L'auteur déduit de là un abaissement de la limite de Descartes 
pour le nombre des racines positives. 
SUR UNE GÉNÉRALISATION DE LA SÉRIE DE LAGRANGE, par M. Snerries. 
(Annales de l'École normale, 3° série, t. IL, p. 92; 1880.) 
Soient X, YŸ,Z,..... n variables liées à x, y, z,..... par les 
n équations 
