180 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 
SUR LES DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉ- 
LA 
PENDANTES, par M. Goursar. (Annales de l'Ecole normale, 3° série, 
t. Il, p. 255; 1885.) 
Trouver toutes les fonctions f(x,,x,,...x,) d’un nombre quel- 
conque w de variables indépendantes telles que deux différentielles 
totales successives aient un facteur commun, fonction entière et 
homogène des différentielles dx, , dx. ,...,dx,. 
Ce problème est une généralisation de celui qu'a résolu M. Dar- 
boux (Bull. des sciences math., 2° série, t. V) : déterminer toutes les 
fonctions d'un nombre quelconque de variables pour lesquelles la 
différentielle totale d'ordre n + 1 est exactement divisible par la 
différentielle totale d'ordre 7. 
La solution du problème de M. Goursat repose sur le théorème 
suivant : si d'f et d"+:f sont divisibles par un même facteur, ce 
facteur divise toutes les différentielles d'ordre plus élevé. 
Dans le cas de deux variables x et y, ce problème est susceptible 
d'une interprétation géométrique simple. Soit S la surface 
z— f(x, y). 
L'existence d’un facteur Adx + Bdy commun à d'f et d'+: f si- 
onifie que par chaque point de la surface S passe une parabole 
d'ordre n— 1 ayant Oz pour direction diamétrale et située tout 
entière sur la surface. Gette interprétation conduit à la solution du 
problème, que l'auteur étend au cas général de » variables par la 
considération des espaces à plusieurs dimensions. 
Les fonctions qui répondent à la question proposée sont de trois 
sortes : 
1° Les fonctions de la forme 
ENE @, (u) +2 P (u) +. ..+ x, G.(u) 
LE UE os ete co Gal Où, 
avec la condition 
æi ®, (u) + æ Pa (u) +. . te Qa (u) + Ÿ (u)— 0, 
F, désignant une fonction entière des x; de degré n —p dont les 
coefficients dépendent de u, et @,,@,,...,@,,% des fonctions 
quelconques ; | 
2° Les fonctions de la forme 
PT eee à 
