186 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 
M. Cesaro poursuit l'étude de ce déterminant remarquable, et 
cherche ce qu'il devient lorsqu'on y supprime les colonnes et les 
lignes, dont les indices sont respectivement 2,,1%,,...,,, et 
Disdase fe 
ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES PAR RAPPORT À PLUSIEURS VARIABLES IMA- 
LA 
GINAIRES INDÉPENDANTES, par M. Davruevuse. (Annales de l’École 
normale, 3° série, t. IT, supplément, p. 3; 188.) 
Ce travail est le commentaire d’une note communiquée par 
M. Weierstrass à la Société mathématique de Berlin : Bimige auf die 
Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderhchen sich bezie- 
hende Satze. 
Soient Zj Zos » «+ 2n %) Variables complexes indépendantes, Un 
ensemble de valeurs a, , &,,...,a,, attribuées à ces n variables, con- 
stitue le point a. Un ensemble d’aires À, , A, ,..., À, tracées respec- 
tivement dans les plans des z,, 2,,..., 2, constitue l'aire À. Le 
domaine 9 du point a est l'aire formée par les cercles de centres 
A; dose. d avec les rayons d,, d,,..., d. Une série entière en 
Zi 20. à admet un cercle de convergence; c’est une fonction 
holomorphe à l'intérieur de ce cercle. 
Le théorème suivant, dû à M. Weierstrass, est fondamental dans 
la théorie des séries entières à plusieurs variables 2,,...,23 81 S 
désiene une pareille série, admettant À pour cercle de convergence, 
nulle à l’origine et telle que S (z, 0,..., o) ne soit pas nulle pour 
toutes les valeurs de z,, on peut fixer un nombre positif 2(0< A) tel 
qu'on ait, pour chaque point du domaine d de l’origme, S—PS" 
S’ désigne une série entière en z,,...,2, convergente dans d et qui 
ne s'annule en aucun point de ce domaine; P est un polynôme 
entier par rapport à z,; son desré est le plus faible exposant de z, 
dans S(z,, 0,..., 0), et ses coeflicients sont des séries entières 
par rapport aux autres variables, séries qui convergent dans d et 
s’annulent à l'origine. 
M. Dautheville déduit de là plusieurs conséquences relatives aux 
zéros d’une série et aux zéros communs à deux séries. Il passe ensuite 
à la divisibilité des séries. La série $, est divisible par la série S, si 
lon peut fixer un domaine d de l'origine dans lequel on ait 
S.—S, S, S, étant une nouvelle série convergente dans d. L'auteur 
donne, d’après M. Weïerstrass, les conditions pour qu'une série 
