ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 631 



une transformation infinitésimale est définie par les fonctions ra- 

 tionnelles X, Y, Z de a? , î/, z. Si Ton envisage le système 



(2) ^=-X(^,i/,2), ^ = Y(j?,2/,z), ^=Z{x,y,z), 



deux cas sont possibles : 



1° Ou bien les coordonnées x.y^z s'expriment en fonctions abé- 

 liennes de deux paramètres m, v; ce cas a été complètement élucidé 

 par M. Picard; 



2° Ou bien l'intégrale générale de (2) est rationnelle, ou sim- 

 plement périodique, ou doublement périodique en f , et la surface S 

 possède un faisceau de courbes F de genre zéro, ou de genre un 

 et de même module. C'est ce cas que traite M. Painlevé. 



Il établit d'abord que l'équation du faisceau des courbes F peut 

 toujours se mettre sous la forme 



R étant rationnel. Moyennant une transformation birationnelle on 

 peut faire en sorte que l'équation de F prenne la forme 2; = Zq- 



Gela posé, on écrit sous forme irréductible l'équation de la 

 courbe S (cT, î/, 2;q) = 0. Soit 



P(^,î/,2;o,Zo)=o 



l'équation ainsi obtenue, Z^ s'exprimant rationnellement en x,y,z 

 et étant lié à Zq par une relation algébrique G(zq, Zq)= 0. Le genre 

 de P est o ou 1 . 



M. Painlevé établit que, si la surface S admet effectivement un 

 groupe G, les coordonnées x^y^z s'expriment rationnellement en 

 fonction de Zq, Zq et de w, ou en fonction de 



Zo,Zo,t*,U = v/(i-w')(i-^V), 



et cela de telle façon que Zq, Zq, m (ou 2^, Z^, w, U) soient rationnels 

 en x,y,z. 



Il est dès lors en état d'énumérer toutes les surfaces qui rentrent 

 dans la catégorie étudiée i 



