ANALYSES ET ANiNONGES. — MATHEMATIQUES. 7Zi9 



une fonction entière telle que, a augmentant indéfiniment, —^ 

 augmente inde'finiment quel que soit n. Soit, d'autre part, 



(m) ' Mo + W^ + W2+ . . ., 



une série convergente ou divergente et 5„ la somme de ses n pre- 

 miers termes. Si la série 



^W = ^) (^0^0 + ^-i^^i + ^•i^'*^ + • • • ) 



converge quelle que soit la valeur positive de a et si sa somme tend 

 vers une limite lorsque a augmente indéfiniment, la série u sera 

 dite sommahle et cette limite sera dite sa somme. 



Si maintenant Mj, w^, . . . sont des fonctions holomorphes d'une 

 variable complexe z dans un domaine D, la série (tt) sera dite uni- 

 formément sommahle dans ce domaine si , d'aboi'd pour toute valeur 

 de a, la série Q(a) est uniformément convergente dans D, et si de 

 plus la somme 0[a^ z) tend uniformément vers une limite Y[z) 

 quand a augmente indéfiniment. 



Ces définitions posées, M. Borel démontre les théorèmes suivants : 



Si les termes d'une série sont des fonctions holomorphes dans 

 un domaine D d'un seul tenant et si la série est uniformément 

 sommahle dans ce domaine, sa somme F est holomorphe dans D. 



La somme F d'une série uniformément sommahle dans un do- 

 maine D d'un seul tenant est, lorsque la série converge uniformé- 

 ment dans une portion D' de D, le prolongement analytique dans D 

 de la fonction que la série représente dans D'. 



De là M. Borel tire pour la sommation des séries divergentes un 

 procédé qui exige seulement la connaissance des valeurs numé- 

 riques des divers termes. 



Sur le théobÈme de Taylor TRAr^sFORMÉ, par M. Bougaief. 

 (Comptes rend. Acad. des sciences, t. CXX.1, 1896, p. 1127-11^9.) 



L'auteur donne à la formule de Tavlor la forme nouvelle 



^{x^h) = ^^{x) + i4'[x)+ ...+-^M^){x) 



^ ^^{x) + H' (.r)+ • • • +7-7—7 ,^^"^ (-^'^ 



^' ^^f(,r) + H'(,r) + . . . +— ^ #') (^^ 



{x-^rh) 



