138 SCIENCES MATHEMATIQUES. 



présente alors une question théorique importante, qui est de dé- 

 terminer le nombre de termes qu'il faut prendre dans la série 

 pour avoir le meilleur résultat. Cette question, traitée pour la 

 première fois par M. Limbourg, a été reprise par M. Bourguet, 

 qui a achevé de déterminer le terme précis auquel il était le plus 

 avantageux de s'arrêter. 



Binet, dans ses recherches sur les Intégrales Eulériennes, s'est 

 occupé de trouver une série pouvant remplacer celle de Stirling et 

 n'ayant pas le défaut de devenir divergente. M. Bourguet montre 

 que la série de Binet a l'avantage théorique d'être convergente 

 pour toutes les valeurs de x , dont la partie réelle est positive , 

 mais le désavantage pratique d'être très peu convergente. Pour 

 citer un exemple choisi par M. Bourguet, dans le cas où x= 100, 

 on obtient (jl[x) avec i3 décimales exactes, en prenant trois termes 

 dans la série de Stirling, tandis qu'il en faudrait de quarante-huit 

 à cinquante pour obtenir le même résultat avec la série de Binet. 



Dans la seconde et la plus importante partie de son travail, 

 l'auteur s'occupe des développements en série de^p- et de Y(x). 



On sait qu'on peut développer — — en séries entières pour 



toutes les valeurs de la variable. M. Bourguet commence par 

 donner les expressions des coefficients de ce développement sous 

 la forme d'une somme de deux intégrales définies, et il détermine 

 les valeurs approchées de ces intégrales par une méthode fort élé- 

 gante. Il calcule ensuite des valeurs numériques des premiers 

 coefficients, ainsi que ceux des développements de — - — et 



^7—; — ; — , ; „. où l'on a C 4= 1 — C, C désignant la constante 



T(x) x(x+i)e cx ° 



d'Euler; il en déduit les premiers coefficients du développement 

 de T(x) x[x-\-i) en série entière pour toute valeur de x de module 

 moindre que 2. 



M. Prym a donné à T[x) une forme très remarquable, savoir : 



T(x) = r— ; : -. : , + C + C. + CJC 1 



V ' X l(x-\- l) 12 X (« + 21 \ 2 



dans laquelle les deux séries sont convergentes pour toutes les 

 valeurs de la variable. M. Bourguet a donné les expressions de 



