MATHEMATIQUES. I M 



la courbe (1) répond toujours un seul point (x i , jj, défini par 

 les formules 



() h ~WJ) 



M, N, P, Q étant des polynômes quelconques, un point analy- 

 tique étant défini non seulement par les valeurs de x et dey, mais 

 par le développement en série de y pour la branche considérée 

 qui passe par ce point. L'ensemble des points oc l ,y l ainsi définis 

 constitue une courbe, 



W fiftvyù-o 



dont M. Eliiot obtient l'équation; il montre que cette courbe est 

 irréductible et que pour un point analytique [x 1 , jjde cette courbe 

 les équations (2) et (3) ont une seule solution commune apparte- 

 nant à (l). Il démontre alors ce théorème que, quand trois équa- 

 tions à trois inconnues ont une seule solution commune, cette 

 solution s'exprime rationnellement en fonction des coefficients; 

 d'où il déduit que tout point de la courbe (1) est donné par les 

 formules 



(6) J „. P i(^pJi) 



Mj , Njl , Pjl , Qj étant certains polynômes en x Y et y r Ces formules ( 5 ) 

 et (6) définissent une transformation réversible, et M. Eliiot com- 

 plète cette définition en montrant que, si dans l'équation (1) on 

 remplace x et y par des formules de la forme (5) et (6) , mais dans 

 lesquelles M x , N x , P 1 , Q x désignent des polynômes quelconques, la 

 courbe transformée n'est pas en général telle que les coordonnées 

 x 1 ,y 1 d'un de ses points s'expriment rationnellement au moyen des 

 coordonnées x, y d'un point de la courbe primitive. 



Il étudie ensuite l'application des transformations précédentes 

 aux intégrales qui dépendent d'une équation algébrique et, en 

 particulier, aux intégrales de première espèce. 



