MATHEMATIQUES. 143 



termes d'une pareille suite et de leur expression, il déduit leur 

 propriété fondamentale, qui est la suivante. 

 Considérons les deux développements 



a(h) = a -\-- *y-\ — a i-\- 



e kx = i -\ — x -\ œ* -f 



1 12 



ou a , a l% a 2 , a n , etc. désignent des quantités quelconques; or- 

 donnons le produit de ces deux développements suivant les puis- 



h n 

 sances de 11 : le coefficient de est précisément A„. M. Ap- 



1 2 ... n l n l 



pell a désigné a[h) sous le nom de fonction génératrice des poly- 

 nômes, en modifiant un peu le sens qu'on attribue généralement 

 à cette expression. 



Puis il définit sur ces polynômes des opérations qui sont ana- 

 logues aux opérations de l'arithmétique et qui correspondent, en 

 effet, à ces opérations effectuées sur les fonctions génératrices. 



11 exprime ensuite en fonction des polynômes d'une suite ayant 

 pour fonction génératrice a[h) les polynômes d'une suite ayant pour 

 fonction génératrice la dérivée de a[h) ou f a(h)dh, en désignant 

 ainsi des séries dont tous les termes sont les dérivées des termes de 

 a(/i), ou ont pour dérivées les termes de a[h); alors si a[h) satis- 

 fait à une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont 

 des polynômes en h, il montre comment on peut former une 

 équation différentielle linéaire à laquelle satisfont les polynômes 

 ayant pour fonction génératrice a(h), et dont les coefficients sont 

 des fonctions entières de x.- 



Cela posé, M. Appell considère une fonction F[x) développée 

 en série entière; il remplace chaque puissance de x par le poly- 

 nôme correspondant d'une suite; si la nouvelle série obtenue est 

 convergente, elle définit une fonction de x, qu'il désigne par F(A) , 

 et qui jouit des propriétés suivantes. 



Si la fonction ¥(x) satisfait à une équation différentielle linéaire 

 à coefficients constants et dont le second membre est une fonc- 

 tion <p(a?) développable en série entière, la fonction F (A) satisfait 

 à une équation ayant le même premier membre et pour second 



