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pression e^*\ dans laquelle /(z) désigne une fonction entière, ne 

 devient jamais nulle. 



M. Picard s'est demandé s'il pouvait exister une seconde va- 

 leur b différente de a que ne puisse prendre la fonction G(z), et 

 il a démontré qu'une fonction entière G(z) , qui ne deviendrait 

 jamais égale ni à a ni à b, serait nécessairement une constante. 



De la démonstration de ce théorème, M. Picard a déduit la 

 solution de la question suivante : étant donnée une fonction de z , 

 n'ayant sur toute l'étendue du plan ou de la sphère que trois 

 points singuliers, trouver un développement d'une telle fonction 

 valable pour tous les points du plan, quel que soit d'ailleurs le 

 chemin suivi par la variable. 



Enfin il termine le premier chapitre de son mémoire par une 

 propriété des fonctions de z qui n'ont, dans toute l'étendue du 

 plan, d'autres points singuliers que des pôles, propriété qu'il dé- 

 duit de son théorème sur les fonctions entières : il montre qu'il ne 

 peut y avoir plus de deux valeurs finies a et b que ne puisse 

 prendre une telle fonction pour une valeur finie de la variable. 



Le deuxième chapitre est consacré à la démonstration d'une 

 propriété plus générale dont le théorème précédent peut être con- 

 sidéré comme un cas particulier. On peut l'énoncer ainsi : il ne 

 peut y avoir plus d'une valeur Unie a de z pour laquelle l'équa- 

 tion G(2) = aait un nombre limité de racines, à moins que Q[z) 

 ne soit un polynôme. 



Les considérations employées dans la démonstration de ce théo- 

 rème important peuvent être employées pour compléter l'étude 

 d'une fonction analytique uniforme clans le voisinage d'un point 

 essentiel. M. Picard désigne ainsi avec M. Weierstrass un point 

 singulier d'une fonction uniforme qui n'est pas un pôle. M. Weier- 

 strass a montré que, dans le voisinage d'un point essentiel A, la 

 fonction peut s'approcher autant qu'on veut de toute valeur 

 donnée. M. Picard a complété ce théorème en montrant que, dans 

 ce voisinage, il y a une infinité de valeurs de la variable pour 

 lesquelles la fonction devient rigoureusement égale à a, une 

 exception pouvant seulement se produire pour deux valeurs par- 

 ticulières de a. H. D. 

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