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Développements par rapport au module des fonctions X(jc) 

 et (x(x) et de leurs puissances, par M. Désiré André. 

 (Ann. de l'Ecole norm. sap., 1880.) 



Les fonctions elliptiques X[x) et (jl(x) , ainsi que leurs puis- 

 sances d'exposant entier et positif, sont développables en série 

 suivant les puissances croissantes du module. Les coefficients de 

 ces développements sont des fonctions de la variable x. M. André 

 s'est proposé, dans ce mémoire, de déterminer la forme de ces 

 fonctions. 



Il avait déjà fait connaître la forme générale des développements 

 de ces fonctions X(x) et (x(x) et de leurs puissances, par rapport 

 à la variables. Il est parti de ces derniers développements, et, en 

 les ordonnant par rapport aux puissances croissantes du module &, 

 il a constaté que ces puissances du module y sont respectivement 

 multipliées par des séries entières en x d'une nature spéciale qui 

 rentrent comme cas particulier dans des séries dont il avait pré- 

 cédemment donné la somme sous forme finie. 



La méthode qu'il a suivie était donc naturellement indiquée, 

 il a pris les développements suivant les puissances de la variable x, 

 les a ordonnés suivant les puissances du module k et a déterminé 

 d'une manière complète, comme il savait le faire, la somme de 

 chacune de ces séries. 



Les résultats obtenus par cette méthode, M. André les a encore 

 notablement simplifiés par d'autres considérations, et il est finale- 

 ment arrivé à la conclusion suivante : 



Si l'on désigne par/) un entier quelconque non négatif, et que 

 l'on pose 



X a " + l $) = C/ 1 + Cjto K^ + C/> K 4 + 



h {x) - d { " ] + d;^ k 2 + d 2 (p) 8? 4 



f*** 1 (x) = E (/J) + E$ K 2 + E 2 (/J) IV + 



)x 3p (x) = F (p) + F™ K 2 + F 2 (/J) K 4 + 



