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montrant que, si elles ne sont pas remplies, la série qu'il se pro- 

 pose de sommer se ramène ou à une série connue, ou à une série 

 de même forme dans laquelle u n remplit les conditions précé- 

 dentes. Ces conditions sont que u n ne soit divisible ni par le déno- 

 minateur de l'expression de U n , ni par le premier ou le dernier 

 terme, et que, dans l'équation génératrice de la série récurrente, 

 dont u n est le terme général, aucune racine ne soit d'un degré de 

 multiplicité supérieur à p. 



Il donne ensuite une expression remarquable de la fraction 



n(n -f i )....( n -fp — j) 



mise sous la forme d'une somme de fractions simples. 



Puis il décompose le terme général u n en deux parties, la pre- 

 mière ne contenant plus rien du dénominateur n(n-\-i) — 

 (n-\-p — i), la seconde en renfermant encore un facteur dans 

 chacun de ses termes, et il montre que la première partie est 

 identiquement nulle. 



Il somme alors la série dont la seconde partie constitue le terme 

 général, et il obtient ainsi évidemment la somme de la série pro- 

 posée. Il fait ensuite observer que, connaissant la somme de sa 

 série, il peut en déduire celle de tou!es les séries qu'on obtient en 

 prenant, dans la proposée, les termes de deux en deux, de trois 

 en trois , etc. 



Enfin il termine en appliquant les formules qu'il a trouvées 

 à deux exemples particuliers. 



H. D. 



