MATHEMATIQUES. ■ 157 



C'est au moyen de la considération des formes quadratiques ter- 

 naires que l'on arrive à une extension de la théorie des fractions 

 continues. En particulier, pour les irrationnelles du troisième 

 degré, on trouve que si a, /3, y désignent les trois racines réelles 

 d'une équation du troisième degré, la réduction pour toutes les 

 valeurs posilives de A et de B, de la forme 



( i ) (x + ay + a"zf + A{& + fy + fihf + ftx + y y + y*Y 



conduit à un calcul périodique, et dans le cas où a est seule 

 réelle, on est conduit à un calcul périodique pour la réduction de 

 la forme 



(2) [x + ay + thf + àfr + Py + flW (* + y y + r l A . 



A désignant une arbitraire positive. 



Considérons d'abord le second cas : M. Charve montre d'abord 

 que la série des formes réduites de l'expression II est illimitée, soit 

 que D tende vers zéro, soit que A grandisse indéfiniment, puis il 

 montre que les substitutions, au moyen desquelles on obtient la 

 suite des formes réduites, se reproduisent périodiquement. 



Considérons maintenant le premier cas : on voit qu'il diffère 

 beaucoup du second, puisqu'on a à effectuer la réduction d'une 

 forme qui renferme non plus une seule arbitraire, mais deux. 



M. Charve établit que, dans ce cas, on est conduit, pour la ré- 

 duction de la forme, à un calcul doublement périodique. Pour 

 rendre cela plus clair, considérons, avec l'auteur, A et B comme 

 représentant les coordonnées d'un point d'un plan; on trouve 

 qu'on peut décomposer le plan en polygones, tels que le point 

 (A, B) étant à l'intérieur de chacun, la forme réduite de I soit la 

 même, et que la détermination de ces polygones conduit à un 

 calcul doublement périodique. 



M. Charve applique ensuite la théorie précédente à des 

 exemples des différents cas qui peuvent se présenter. 



Enfin, il termine par quelques considérations sur les unités 

 complexes, formées avec les racines d'une équation du troisième 

 degré, en se réservant de poursuivre leur étude. 



Il montre que la recherche de ces unités complexes est liée à la 

 théorie des formes, de telle façon que, de la connaissance de deux 



