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quelconques, et R s est le résidu correspondant au pôle u = iK' de 

 la fonction 



SAu4-a)e Xu 



Il remarque d'abord que les fonctions <D S (a) ayant un seul pôle 

 iK' à l'intérieur du rectangle des périodes et un résidu correspon- 

 dant égal à l'unité peuvent, d'après un théorème fondamental, 

 jouer le rôle d'éléments simples par rapport aux fonctions ayant 

 les mêmes multiplicateurs. 



Cela posé, il considère en particulier les fonctions 



ikcn(u) <t> s (u) 

 ksn(u) <& s (u) 

 idn{u) i>/(a) 



et remarque qu'elles ont respectivement les mêmes multiplicateurs 

 que les fonctions 



<IW«), <*>,_». 4>3_>)' 



les indices étant pris au module à. Il en déduit d'après son théo- 

 rème fondamental sur la décomposition en éléments simples les 

 équations suivantes : 



ikcnu^ a [u)^[X + DJoge^ t (a)]^ M (u)^D u O M {u) 



/ £ S/incD fi ( M ) = [X + D a loge i _ 5 (a)]<I> l _ s (tt)-D iï cD 1 _ s ( U ) 

 /^^(«) = [X-f-D a l0g0 1 _ 5 (a)|O 3 _ s (a)-D a <I>3_ s ( ll ) 



De ces équations il déduit trois équations différentielles du se- 

 cond ordre linéaires, dont la fonction <3> s (a) est une solution parti- 

 culière; l'étude de ces équations lui permet d'obtenir une seconde 

 solution particulière, et il obtient ainsi l'intégrale générale. 



Puis il rire du système d'équations précédent deux nouveaux 

 systèmes d'équations du second ordre, dont les solutions sont de 

 la forme 



CAef + CBe- pn , 



A et B étant deux fonctions doublement périodiques de première 

 espèce ayant un seul pôle simple ili\ et la constante p ayant deux 



