MATHEMATIQUES. 233 



valeurs particulières, une pour chaque système d'équations. Il est 

 ainsi conduit à chercher l'équation différentielle qui aurait pour in- 

 tégrale générale l'expression précédente, mais dans laquelle p dé 

 signerait une constante quelconque. 



Il donne une première solution de cette question en démontrant 

 le théorème suivant : 



Étant donnée une équation différentielle linéaire du second 

 ordre, dont A et B sont deux solutions particulières et dont l'in- 

 tégrale générale est par suite 



CA + C'B, 



si Ton connaît le produit AB de deux solutions particulières, on 

 peut former l'équation différentielle qui a pour intégrale générale 



CAc pH -fC'Bc- pu . 



Il donne ensuite une seconde solution en substituant aux an- 

 ciennes constantes de nouvelles appropriées à la formation de 

 l'équation différentielle, et qui le conduit à des valeurs beaucoup 

 plus simples des coefficients cherchés. 



Pour cela, il commence par montrer que si on met l'équation 

 cherchée sous la forme 



/-/(tt)/ + flf(tt)^==o, 



f(u) et g(u) sont deux fonctions doublement périodiques de pre- 

 mière espèce ayant un pôle simple iK', qui est un point singulier 

 pour l'équation différentielle, et deux autres pôles a et b qui ne 

 sont que des points à apparence singulière pour l'équation diffé- 

 rentielle. 



Il établit alors , d'après les principes de M. Fùchs, les conditions 

 nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale complète de l'équa- 

 tion considérée soit une fonction uniforme de la variable ayant un 

 seul pôle u = z*K'. 



Il remarque, à l'égard des conditions qu'il trouve, quelles se 

 conservent quand on remplace/ par ye-as, a étant une constante 

 quelconque. En appliquant ces conditions, il achève de déterminer 

 les fonctions /(w) et g[u). On sait dès lors, d'après un théorème dû 



