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espèce; il résulte de là bien nettement la forme des intégrales de 

 l'équation proposée dans tous les cas possibles. H. D. 



Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur 

 des équations différentielles linéaires aux dérivées 

 partielles. Note de M. Appell , professeur à la Faculté 

 des sciences de Dijon. [Comptes rend., 1880, i er semestre, 

 p. 296.) 



Soit k un entier positif et posons X(X-f- 1) . . . (X+& — i) = (X,/fc) 

 en convenant que (X,o) = i. M. Appell considère les quatre sé- 

 ries 



(a,m + n)(0,m)(0', n) . m ]U 



F, (a, % % y, x, J)=2 



(y, m-\-n) (1, m) (1, n) 



F (a B B' y y' x y - Y («»™ + n)(/3,m) (ff.n) ^ „ 



3V ' ' / •/ ^ (y,m + /i) (i,m) (1,71) ^ 



F (a B y v' J y) Y (*,m + n)(/3,m + tt) w » . 



la sommation s'étendant aux valeurs entières de m et de n de 

 zéro à l'infini. Les quatre fonctions ainsi définies satisfont chacune 

 a deux équations aux dérivées partielles de la forme 



r^a^-^- a^p + a 3 q + «£& 



les a et les & étant certaines fonctions de x et de y. 



Il considère ensuite d'une manière générale les équations simul- 

 tanées précédentes, les a et les b étant des fonctions quelconques 

 de x et de y; il suppose que la quantité 1 — a l b l n'est pas nulle 

 identiquement et que la condition dintégrabilité est remplie iden- 

 tiquement; cela posé, il démontre le théorème suivant qui s'ap- 

 plique aux fonctions F 2 ,F 3 ,F 4 , 



Soit x , y un système de valeurs des variables x et y tel que 



