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pour des valeurs de ces variables voisines de x et de y les coeffi- 

 cients des équations considérées soient holomorphes, et que la 

 quantité 1 — a 1 6 1 ne soit pas nulle pour x = x et y=y , on pourra 

 satisfaire à ces équations par une fonction de x et de y holomorphe 

 dans le voisinage des valeurs a? , y oi les valeurs de cette fonction 

 et des trois dérivées p, q, s étant arbitraires pour x=x y=y Q . 



Il montre ensuite qu'à l'aide des séries F on peut former des 

 polynômes de deux variables possédant des propriétés analogues à 

 celles des polynômes de Jacobi et termine par quelques propriétés 

 de la fonction F 2 relatives aux polynômes deLegendre que M. Her- 

 mite a indiqués comme généralisation des polynômes de Legendre 

 et des polynômes cos (n arccos x) , et à la fonction Y n . 



(A suivre.) 



Sur les équations différentielles linéaires à coefficients 



DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. Note de M. MlTTAG - LeFFLER. 



(Comptes rend., 1880, i er semestre, p. 299.) 



Dans deux notes communiquées précédemment à l'Académie, 

 M. Picard a donné ce théorème remarquable : 

 Si 



dy {n) _ dy (n ~ l) ; dy {n -* , 

 d^~ Pl ~dx^ r ~ rP "lx j:r ^ 4 " PnJ 



est une équation différentielle linéaire à coefficients doublement 

 périodiques telle qu'il existe toujours une intégrale uniforme, 

 alors l'équation admet en général pour intégrale la somme de n 

 fonctions doublement périodiques de seconde espèce. 



Mais dans certains cas spéciaux la méthode de M. Picard ne suf- 

 fit pas pour donner la forme plus particulière dont est susceptible 

 l'intégrale. 



M. Mittag-Leffler complète le théorème de M. Picard en mon- 

 trant que l'équation précédente admet toujours nécessairement 

 une intégrale qui est une fonction doublement périodique de se- 

 conde espèce; en supposant alors que cette intégrale est connue et 

 que les coefficients de l'équation différentielle proposée sont tels 

 que les intégrales soient des fondions uniformes avec le seul point 



