MATHEMATIQUES. 403 



par des polynômes X, Y, Z. M. Korkine, dans cetle note, a modifié 

 la démonstration de M. Liouville. H. D. 



Sur quelques équations différentielles linéaires de second 

 ordre, par M. H. Gylden. (Comptes rend., 1880, i cr se- 

 mestre, p. 3 A4.) 



Sur l'approximation des fonctions circulaires au moyen des 

 fonctions algébriques. Note de M. Laguerre. (Comptes 

 rend., 1880, i er semestre, p. 3o£.) 



Les équations dont toutes les racines sont réelles constituent, à 

 bien des égards, dans l'ensemble des équations algébriques, une 

 classe particulièrement importante, et les problèmes qui s'y rat- 

 tachent sont souvent susceptibles de solutions simples auxquelles 

 échappent les cas plus généraux. 



Ainsi dans la recherche de la valeur approchée des racines, 

 M. Laguerre démontre la proposition suivante: 



En désignant par f(x) = une équation dont toutes les racines 

 sont réelles et par a une quantité arbitraire, les deux valeurs de x 

 déterminées par l'équation 



1 _ -f(QL)±\/(n-i)\p(oi)-n(n-i)f (*)/"(*) 

 x — ct nf(a) 



sont respectivement comprises entre a et les deux racines qui avoi- 

 sinent a. 



De ce théorème résulte, pour les racines des équations qui 

 jouissent de la propriété précédente, une méthode d'approxima- 

 tion spéciale. L'approximation est notamment plus grande que 

 celle fournie par la méthode de Newton, surtout quand les racines 

 sont resserrées dans un intervalle assez étroit. 



M. Laguerre applique ensuite sa méthode aux polynômes élu 

 diés par M. Hermite dans sa note sur un nouveau développement 

 en série des fonctions (Comptes rend., 186/1) , puis à l'équation 



j{x) = 1 — cosa- n l (\ - x) -\- — • — - — ^ — {\-~xy — • - - 



