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3° Le rapport — , a étant exprimé en rayons de l'astre central, 

 est en raison inverse de la densité de cet astre. 



à° Le carré de la raison de la progression suivant laquelle les 

 astres secondaires sont placés est proportionel à la densité de 

 l'astre central du système. H. D. 



Sur les systèmes formés d'équations linéaires à une seule 

 variarle indépendante, par M. G. Darboux. (Comptes 

 rendus, 1880, i er semestre, p. bil\ et 596.) 



Considérons le système d'équations linéaires du premier ordre 



dx. 



-âf = a ll x l +...+a nn x n 



dx< . . ■ 



-jJL = a nl x l +...-\-a nn œ n , 



où a n . . . a nn désignent des fonctions quelconques de t. Ce sys- 

 tème a en général n intégrales linéaires de la forme 



a n x l +...-\-a lll x n = C l 



Mais il peut admettre aussi des intégrales rationnelles d'ordre 

 supérieur au premier. Soit /(a^, a? 2 , x n ) une telle intégrale. M. Dar- 

 boux montre d'abord qu'on peut supposer la fonction f homo- 

 gène, sans quoi elle donnerait naissance à plusieurs intégrales ho- 

 mogènes. Gela posé, il démontre le théorème suivant: 



Si la fonction homogène f[x } , x n ) est une intégrale du système, 

 tout covariant de cette forme multipliée par une puissance con- 

 venable dune fonction connue de t sera également une intégrale 

 du même système. 



Puis il remarque que le théorème s'étend au cas où l'on a plu- 

 sieurs intégrales et où l'on considère un covariant quelconque du 

 système. 



Il se propose ensuite d'étendre sa proposition aux contrevariants 



