MATHÉMATIQUES. 591 



Puis il montre que Ton aurait une idée complète de la forme 

 géométrique des caractéristiques, si l'on connaissait deux sys- 

 tèmes de courbes , les unes qui ne sont pas des caractériques, et 

 ne peuvent rencontrer une caractéristique en plus d'un point; 

 il les appelle cycles sans contact; les autres qui sont des caracté- 

 ristiques et sont asymptotes aux caractéristiques voisines; il les 

 appelle cycles limites. Il donne alors une méthode pour trouver 

 ce système de courbes, soit d'une manière complète en formant 

 une équation, ce qui n'est pas en général possible, soit d'une ma- 

 nière approchée en déterminant la sphère des régions de plus en 

 plus resserrées qui contiennent un cycle limite tout entier et n'en 

 contiennent qu'un. Il termine par des applications et l'examen de 

 certains cas particuliers qui échappent à la méthode générale. 



H. D. 



Sur l'intégration des équations linéaires au moyen des 

 sinus des ordres supérieurs, par M. J. Villarceau. (Comptes 

 rendus, 1880, 1 e1 ' semestre, p. .) 



Les fonctions désignées sous le nom de sinus de Tordre m — 1 

 s'obtiennent en prenant dans les développements en série, des 

 fonctions e x et e~ x les termes de m en m. Ces fonctions, signalées 

 d'abord par Wronski et étudiées récemment par M. Villarceau 

 (Cl?. 1878), ne sont pas, au point de vue mathématique, des fonc- 

 tions nouvelles, car elles s'expriment par des sommes d'exponen- 

 tielles; mais leur emploi au point de vue pratique dans certaines 

 questions de mécanique ou d'astronomie peut être très utile. 

 Elles sont en effet très propres à représenter des phénomènes 

 offrant le double caractère de progressivité et de périodicité. C'est 

 en se plaçant à ce point de vue que M. Villarceau s'est occupé de 

 l'intégration des équations différentielles linéaires à coefficients 

 constants à l'aide de ces fonctions. Il donne la solution complète 

 de l'équation 



