z x z % z A 



PiP 2 P 3 P 4 



flfcftfc 



S \ S l S i 5 4 



566 SCIENCES MATHEMATIQUES. 



Il ajoute à ce théorème les suivants : i° entre cinq fonctions 

 satisfaisant aux équations (1) il existe une relation linéaire à coeffi- 

 cients constants; 2° entre quatre fonctions z 1 ,z 2 ,z 3 ,z lk satisfaisant 

 aux équations (1) et telles que le déterminant 



D = 



soit nul, il existe une relation linéaire à coefïicienls constants. 



Il montre ensuite que z lf z 2 ,z 3 ,z^ étant quatre fonctions satisfai- 

 sant aux équations (1), ce déterminant précédent satisfait à une 

 équation aux dérivées partielles du premier ordre, et il en déduit 

 que si ce déterminant n'est pas nul pour le couple de valeurs 

 initiales, il restera différent de zéro tant qu'on n'atteindra pas un 

 couple de valeurs singulières. 



On voit donc que si on appelle système fondamental d'inté- 

 grales un système de quatre intégrales pour lesquelles D est diffé- 

 rent de zéro, une solution quelconque des équations (1) est une 

 fonction linéaire des éléments d'un système fondamental. 



Puis considérant un couple de valeurs singulières a, /3, il fait 

 voir que sous certaines conditions, si y restant égal à /S, x 

 décrit un contour enveloppant le point a, on revient au point de 

 départ avec de nouvelles valeurs des fonctions qui sont des fonc- 

 tions linéaires à coefficients constants des anciennes, d'où il déduit 

 des conséquences analogues à celles qui se présentent dans la 

 théorie des équations différentielles linéaires à une variable indé- 

 pendante. 



Il revient alors aux équations F qui ont été le point de départ 

 de ces recherches et qui satisfont à des équations aux dérivées 

 partielles de la forme (i), et il donne l'intégrale générale des 

 équations auxquelles satisfont F 2 F, 3 F, 4 . ' 



Il continue ensuite l'étude des propriétés des fonctions satisfai- 

 sant à l'équation différentielle obtenue en ajoutant les équations 

 auxquelles satisfait F 2 , et des polynômes qu'il en a déduits. Il ter- 

 mine en appliquant ces formules générales à des exemples. 



H. D. 



