MATHÉMATIQUES. 071 



mêmes valeurs que y pour n -f- 1 valeurs cle t, on aura la plus 

 grande précision possible en posant 



x—i — 2t 



et choisissant pour les n -f- 1 valeurs de x les racines de l'équation 

 X n+1 = 0, . X n+1 désignant le n-\- i rae polynôme de Legendre. La dé- 

 monstration donnée par Gauss est pénible. Dans cette note, M. Bail- 

 laud montre que les idées de Gauss pouvaient conduire très sim- 

 plement au résultat. H. D. 



Sur la série F 3 (a, a, /3,(2',y, x,y), par M. Appell, professeur 

 à la Faculté des sciences de Dijon. [Comptes rend. , 1880, 

 i fr semestre, p. 977.) 



Dans cette note, M. Appell donne de nouvelles propriétés des 

 fonctions F a , F 2 , F 3 qu'il a déjà étudiées. Il montre qu'elles 

 peuvent être représentées par des intégrales définies; posons 



. . j a — 1 a — 1 , . y — a — a' — 1 



J [U, V) =U V (1 — Il — V) 



et supposons 



a>o a'>o y — a — a':>o' 



on a 



// 



/!..»)(■ ^r^-nr^d,- ™''^"- 1 f, 



l'intégrale définie étant étendue à toutes les valeurs de u et de v 

 satisfaisant aux inégalités 



Il donne pour F 1 et F 2 des expressions analogues. 

 Considérant ensuite le cas où Ton a /3=/3'=i, il détermine 

 un polynôme Q(œ, y) de degré m-\-n tel que le produit 



ordonné par rapport aux puissances décroissantes de œ et de y, ne 

 contiennent aucun terme en afy*, où h et h sont des entiers non 

 négatifs tels que l'on ait h -f k <z m + rc, ou bien h-\-h = m avec 

 h^m.kf^n. H. D. 



