SCIENCES MATHÉMATIQUES 



MATHÉMATIQUES. 



Sur les formes cvriqves ternaires, par M. Poincaré. 

 (Comptes rendus, i 880, i er semestre, p. 1 336.) 



Le but du mémoire de M. Poincaré est d'appliquer à l'étude 

 arithmétique des formes cubiques la méthode ingénieuse qui a 

 conduit M. Hermite à des résultats si remarquables en ce qui 

 concerne les formes décomposables en facteurs linéaires et les 

 formes quadratiques. Il commence par résoudre certaines ques- 

 tions purement aigébriques relativement à ces formes cubiques 

 ternaires. Il donne une classification des transformations linéaires 

 en quatre catégories, puis il classe les formes cubiques ternaires 

 en sept familles, d'après les propriétés de la courbe du troisième 

 ordre, que représente en coordonnées trilatères l'équation obtenue 

 en égalant la forme à zéro; il énonce alors des théorèmes relatifs 

 au groupe des substitutions qui reproduisent une forme donnée ; 

 enfin il définit dans chaque famille une forme plus simple que 

 les autres qu'il appelle la canonique de cette famille. Après ces 

 préliminaires, il arrive à l'étude arithmétique des formes cubiques 

 et fait une classification approfondie des formes réduites qui peu- 

 vent dériver d'une forme canonique. 



Ces réduites se répartissent en classes : il montre que selon la 

 famille à laquelle appartient la forme canonique, il peut dériver 

 de cette canonique un nombre fini ou infini de classes. Dans le 

 second cas, il répartit les classes en genres, les réduites d'un 

 même genre se déduisant aisément les unes des autres , et il montre 

 que le nombre de ces genres peut lui-même être fini ou infini, 

 selon la famille de la canonique. 



