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Sur les invariants différentiels des courbes gauches, par 

 M. Halphen. (Journalde l'Ecole polytechnique, i 880, 4 7 e cahier, 



P . ..) 



Soient £, y, Ç, &>, quatre polynômes du premier degré 



£ = clx -f jSy + yz + <£ 

 77 = a'a? + j3'7 + /*+£' 



w = a'"# + j3'" j + y'"a? -f <£"' 



on définit la liaison entre x, y, z et trois autres variables X, Y, Z 

 par les relations 



œ 

 Y =2. (1) 



00 

 00 



la substitution qui conduit du système X, Y, Z, au système x, y, z 

 est dite homographique. 



Si on regarde Y et Z comme des fonctions de X, soit Y = F(X), 

 Z = 0(X), les formules (1) définissent un changement de variables; 

 supposons que l'on regarde x comme la nouvelle variable indé- 

 pendante. Soit/(X, Y,Z, Y ',. . .Z (n )) une fonction entière des variables 

 primitives et de leurs dérivées. Considérons l'équation f=o et 

 transformons-la par la substitution (1) et mettons l'équation 

 transformée sous forme entière. La fonction / sera dite un inva- 

 riant différentiel, si cette transformée ne diffère de l'équation 

 f=o que par le changement des lettres, c'est-à-dire si elle peut 

 s'écrire 



f{x,y,z,y' ....2 (n) ) = o, 



quels que soient les coefficients a, /S... de la substitution. L'ordre 

 des plus hautes dérivées d'Y et de Z par rapport à X sera l'ordre 

 de l'invariant. 



Il en résulte que si l'on considère la courbe Y = F (X), Z = (X), 

 les points de cette courbe pour lesquels on aura /(X, Y,...) = o 



