MATHÉMATIQUES. 753 



jouiront d'une propriété qui se conservera dans toute substitution 

 homographique, et que réciproquement si une équation f=o 

 exprime une propriété de certains points d'une courbe qui ne 

 change pas par homographie, son premier membre sera un inva- 

 riant différentiel. C'est ainsi que M. Halphen obtient tout d'abord 

 deux invariants différentiels qu'il désigne par u et v , et qui, égalés 

 à zéro, expriment : le premier, qu'en un point de la courbe le plan 

 osculateur est stationnaire; le second, que six tangentes consécu- 

 tives appartiennent à un complexe linéaire. 



Il existe donc des invariants différentiels. Soit alors /== o , un 

 invariant différentiel; l'effet d'une substitution homographique est 

 de le reproduire multiplié par un facteur constant, c'est-à-dire ne 

 dépendant que des coefficients de la substitution. M. Halphen re- 

 cherche alors la forme de ce facteur ; il montre qu'il est de la 

 forme A p B<$, A et B étant deux quantités ne dépendant que des 

 coefficients de la substitution, et p et $ deux nombres ne dépen- 

 dant que de l'invariant. M. Halphen appelle ces deux nombres le 

 poids et le degré. Il est alors manifeste qu'avec trois invariants 

 différentiels on peut former un invariant absolu, c'est-à-dire une 

 fonction / qui se transforme identiquement en elle-même par 

 toute substitution homographique. Car si U, U', U" sont ces trois 

 invariants caractérisés parles nombres (p,<5), (p',<5*), [p"Â"), la fonc- 

 tion 



tt p'S"— d!'$' -r y p"S — pS" rypS'— Sp' 



est un invariant absolu. On voit qu'il y a dans tout cela une 

 grande analogie avec la théorie des invariants des formes algé- 

 briques. 



M. Halphen montre ensuite qu'au-dessous du septième ordre, il 

 ne peut exister que deux invariants différentiels : ce sont les in- 

 variants u et v. A partir du septième ordre voici les circonstances 

 qui se présentent: pour chaque ordre, il existe deux invariants 

 indépendants qui sont linéaires par rapport aux dérivées de 

 l'ordre le plus élevé, et que M. Halphen appelle fondamentaux, 

 et il démontre alors le théorème suivant : tout invariant est une 

 fonction rationnelle des invariants fondamentaux de même ordre 



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