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et des invariants d'ordre moindre. Ce théorème est caractéris- 

 tique de la nature des invariants différentiels; tandis que dans 

 la théorie des formes algébriques le nombre des invariants indé- 

 pendants ne coïncide pas nécessairement avec celui des inva- 

 riants rationnellement distincts, au contraire, cela a lieu dans la 

 théorie des invariants différentiels. 



M. Halphen forme ensuite l'expression des deux invariants fon- 

 damentaux du septième ordre, avec ces invariants et les deux 

 invariants u et v, on peut former deux invariants absolus; les 

 dérivées de ces invariants fournissent deux invariants du huitième 

 ordre qui sont fondamentaux, avec lesquels on répète la même 

 opération et ainsi de suite. 



La théorie des invariants différentiels est, comme nous l'avons 

 vu, intimement liée à la théorie infinitésimale des courbes gau- 

 ches; à vrai dire, il n'y a là que deux points de vue différents 

 d'envisager une même question. A ce second point de vue, 

 M. Halphen donne les équations de la cubique gauche osculatrice 

 en un point donné à une courbe gauche, et il montre qu'il est, en 

 général, possible d'une seule manière de ramener les équations 

 d'une courbe gauche à la forme canonique 



2 = X 3 + OC 6 4" P-jOC 1 + • • • • • 



y =3? +<7 7 ^ 7 + 



et que les quantités p 7 , </ 7 , . . . sont des invariants. 



La suite du mémoire traite de diverses questions qui s'offrent 

 tout naturellement. 



Considérons d'abord deux figures corrélatives et une courbe de 

 la première figure, correspond dans la seconde une courbe ad- 

 jointe. M. Halphen montre qu'atout invariant d'une courbe gauche 

 correspond un invariant pour la courbe adjointe; il l'appelle in- 

 variant adjoint et donne le moyen de le former. 



Il considère ensuite les courbes anharmoniques. On sait que 

 ces courbes sont représentées par des équations de la forme 



.5—1 s 



zt —X 



et que leur propriété caractéristique est de se transformer en elles- 



