MATHEMATIQUES. 755 



mêmes par une infinité de substitutions homographiques ; et l'on 

 peut effectuer la substitution de manière qu'un point quelconque 

 de la courbe se transforme en un autre point quelconque, ceux 

 des sommets du tétraèdre de référence par lesquels passe la 

 courbe étant exceptés , la substitution les laissant immobiles. 



M. Halphen démontre qu'il existe, en un point d'une courbe, 

 une courbe anharmonique ayant en ce point avec la courbe un 

 contact du septième ordre, et il donne les équations canoniques de 

 cette courbe. 



Il étudie ensuite, au point de vue de leur intégration, des sys- 

 tèmes invariants de deux équations différentielles, c'est-à-dire des 

 systèmes de deux équations différentielles (p = o k = o entre la 

 variable indépendante x et les deux fonctions y et z de cette va- 

 riable qui se transforment en eux-mêmes par toute substitution 

 homographique. Gela correspond géométriquement à la recherche 

 des courbes qui jouissent en tous leurs points des propriétés ex- 

 primées par l'ensemble des deux équations (p = o, x= o. 



La fin du mémoire de M. Halphen est consacrée à des appli- 

 cations diverses : il considère d'abord des covariants différentiels, 

 c'est-à-dire des équations contenant les coordonnées d'un point 

 x, y } z, de la courbe et des dérivés de y et z par rapport à x, 

 et en plus les coordonnées d'un autre point arbitraire, qui ne 

 change pas quand on fait une substitution homographique. Il 

 montre d'abord l'existence de quatre covariants différentiels qui 

 sont les équations des faces du tétraèdre de référence, lorsque la 

 courbe est ramenée à sa forme canonique et il les forme; puis il 

 établit que tout covariant différentiel de la courbe s'exprime au 

 moyen des invariants différentiels et des quatre covariants pré- 

 cédents. 



Il donne ensuite des exemples de covariants différentiels, en 

 particulier l'équation de la surface du second degré osculatrice en 

 un point d'une courbe, d'où il déduit l'équation différentielle des 

 courbes tracées sur les cônes du second degré, puis les deux 

 équations différentielles des biquadra tiques. Il termine en appli- 

 quant à ce système d'équations la méthode indiquée dans le cha- 

 pitre qui traite de l'intégration des systèmes invariants d'équations 



