MATHÉMATIQUES. 759 



données rectangulaires d'un point x,y, z, qui satisfait à l'équa- 

 tion 



dans l'intérieur d'un parallélépipède, qui y est finie et con- 

 tinue ainsi que ses dérivées du premier ordre , excepté aux envi- 

 rons du point x , y , z , où elle se réduit sensiblement à -, r étant 

 la distance entre ce point et le point x, y, z, enfin qui s'annulle 

 quand le point x, y, z vient sur la surface. 



Il détermine ensuite l'expression analytique d'une fonction V 

 de x, y y z et de x ', y', z qui satisfait à l'équation aux différences 

 partielles du quatrième ordre AAv=o, dans l'intérieur d'un paral- 

 lélépipède rectangle, qui y reste finie et continue ainsi que ses 

 dérivées des trois premiers ordres, excepté au point x, y', z, où 

 son A se réduit à -, enfin qui se réduit à zéro quand le point 

 x, y, z vient sur la surface. Il avait précédemment [Journal de 

 Liouville, 2° série, t. XIV) démontré l'existence de 'cette fonction 

 quand plus généralement on a, au lieu d'un parallélépipède, une 

 surface fermée quelconque. 



11 ajoute ensuite aux conditions précédentes la suivante : que 



dv 



■T-i dn étant l'élément de normale menée intérieurement à la sur- 

 an 



face , soit aussi nul sur la surface ; et il en déduit la solution de 

 la question suivante : 



Déterminer une fonction u des coordonnées d'un point x, y, z 

 qui satisfasse à l'intérieur d'un parallélépipède rectangle à l'équa- 

 tion aux différences partielles du quatrième ordre AAn=o, qui 

 y soit finie et continue dans cette étendue ainsi que ses dérivées 

 des trois premiers ordres , en supposant qu'on connaisse uel -7- 

 sur la surface. \ 



Tels sont les problèmes traités par M. Mathieu dans son mé- 

 moire. H. D. 



