MATHEMATIQUES. 835 



Sur une propriété de la fonction de Poisson et sur l'inté- 

 gration DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PRE- 



mier ordre , par M. Gilbert. [Comptes rend., 1880, t. XCI, 

 p. 5 Zi 1 et 6 1 3.) 



La première partie de cette note a pour objet la démonstration 

 du théorème suivant : 



Soient &\ , x 2 , . . . x n ,p 1 , p 2 , . . . p n 2 ra variables entre lesquelles 

 existent m équations : 



F| = o,F 2 = o,...F m = o, 



d'où Ton tire les valeurs de m quantités p i9 p 2 , . . . p m en fonction 

 des autres, sous la forme 



p ï = X 1 {x } ,x 2 , ... a?„,p m+1 , ... p„), P 2 = A 2 , ... p m = X m . 



Désignons par A le déterminant fonctionnel : 



'FF F 





et par A. r fc * le mineur de ce déterminant résultant de la suppres- 

 sion des colonnes de rang 7^et s et des lignes de rang i et h. 



La propriété dont il s'agit consiste en ce que Ton a pour deux 

 indices quelconques i et k, pris dans la suite 1, 2, ... m l'é- 

 galité : 



r,s 



la notation ((£>, \f/) désignant la fonction de Poisson formée avec 

 deux fonctions Ç> et >J/ des 2?i variables, et S une somme qui s'é- 

 tend à toutes les combinaisons deux à deux des indices r et s pris 

 dans la suite 1, 2, ... m. 



Dans la seconde partie, il développe les conséquences de ce théo- 

 rème dans le cas particulier où les fonctions F satisfont aux rela- 

 tions (F r , F s )=o et où l'on a m = n; puis il fait ressortir leur 

 utilité pour le problème de l'intégration des équations aux déri- 

 vées partielles du premier ordre, en se réservant de montrer plus 



