MATHÉMATIQUES. 837 



ver toutes les équations différentielles linéaires possibles dont la 

 solution dépend de la quadrature d'un produit algébrique irration- 

 nel. Voici les principaux résultats obtenus par M. Dillner : il com- 

 mence par donner un procédé pour former des équations diffé- 

 rentielles linéaires dont la solution dépende de la quadrature d'un 

 produit algébrique irrationnel donné; un système de solutions par- 

 ticulières qui donnent l'intégrale générale de ces équations est 

 donné par la formule : 



rdx 



A et B désignent des produits irrationnels, soit : 



(i) A=(x-afi ...(x-a^, 



(a)' B = [x-bfi... ( iC _^j/ 3 v. 



r prend successivement les valeurs î , i , . . . n , et Ton a 



2Ï7T7"» 



C r = Ce- , C étant une constante; n est le degré de l'équation 



différentielle considérée et (3 l , j3 2 , . . . fi v sont de la forme —, où 

 i prend les valeurs i, 2 . ... v, l'un au moins des nombres zn z étant 

 premier avec n. 



Dans le cas où l'équation est du second ordre, il retrouve comme 

 cas particulier l'équation de Brioschi et la classe des équations du 

 second ordre qui se résolvent par les fonctions elliptiques ordi- 

 naires. 



Il considère ensuite le cas particulier où le produit irrationnel 

 ne contient d'autre irrationnalité que la racine carrée d'un poly- 

 nôme entier; puis il étudie le problème plus général des équations 

 différentielles linéaires à coefficients rationnels, dont la solulion 

 dépend de la quadrature d'une fonction rationnelle de la variable 

 et d'un produit algébrique irrationnel. 



Il montre que l'intégrale d'une telle équation est donnée par la 

 formule : 



^Jh (£)._+ - +A - a **■ 



A et B désignent les expressions (î) et (2); A n A 2 , ... A n sont 



