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MATHEMATIQUES. 



Sur une formule d'Euler, par M. Hermite. (Journal de mathé- 

 matiques pures et appliquées, 1880, 3 e série, t. VI, p. 5.) 



Une lettre de M. Fuss, publiée dans le Bulletin des Sciences 

 mathématiques de M. Darboux , contient sur l'intégrale 



J 1-x 4 



+* 4 ^ 



un résultat obtenu par Euler, et qui est bien digne de remarque. 

 Il consiste dans la réduction de cette quantité à l'intégrale d'une 

 fonction rationnelle à l'aide de la substitution 



x aA+p'+sA-p' 



p\/ 



En étudiant ce résultat d'Euler, M. Hermite a été mis sur la 



les 



f(*)dx 



trace d'une catégorie de formules 



/, 



réductibles par une substitution algébrique à l'intégrale des fonc- 

 tions rationnelles. Une analyse directe le conduit d'abord à ce ré- 

 sultat que cela a lieu si l'on a 



11 reprend ensuite cette question au moyen de la méthode 

 d'intégration des fonctions doublement périodiques tirée de la dé- 

 composition en éléments simples de ces fonctions. Il a été alors 

 amené à découvrir deux autres cas analogues au précédent où 

 l'intégrale (1) peut être ramenée par une substitution algébrique à 

 l'intégrale des fonctions rationnelles. H. D. 



