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2° Les points critiques de la fonction algébrique y de x, que 

 nous supposerons distincts des points (£*, rjk). 



M. Appell suppose que les points (£, rç fc ) et le point ce sont des 

 pôles où des points ordinaires de la fonction intégrale de l'équa- 

 tion (1), ce que Ton peut reconnaître par la méthode de M. Fuchs. 

 Alors M. Appell montre que Ton peut trouver une fonction \p (oc, y) 

 satisfaisant à l'équation différentielle (1), et qui se reproduise 

 multipliée par un facteur constant quand le point (x, y) décrit 

 un cycle simple. 



Soient de plus u® (x, y) [i= i, 2, . . . p) lesp intégrales abé- 

 liennes normales de première espèce relatives à l'équation F = o 

 et soient les ip périodes normales de l'intégrale u.l l \ à savoir : 



&)j W = o, (W., (i) =o, ... « m 1 j,_ 1 =F=.2wy/i, ... w w 2/J _ 1 =o, 

 œ^ == àa h , w,p = 2a,,, ... goJî = ûa^ . . . m.^ = 2 a,,... 



Soit (x-,) la fonction S de p variables formée avec les nom- 

 bres a ik (Briot, Théorie des fonctions àbélienues, p. 11 4). M. Appell 

 considère la fonction : 



T f r v) - er^fo'jQ-fr] P *. " (!) (*• J) + * ' * + \ U[P) & TÏ- 

 } ' y J~ e[iiV{x,y)] 



ïl montre qu'alors, si les constantes X 1 ,.X 2 , ... X p , </ n . . . g 

 ont des valeurs convenables, la fonction 



ï(x,y)T(x : y) 



sera une fonction rationnelle d'x et d'y; on a donc l'expression 

 analytique de la fonction intégrale de l'équation (1) à l'aide des 

 symboles connus. 



Ces résultats peuvent, à un certain point de vue, être considé- 

 rés comme une généralisation des recherches de MM. Hermite, Pi- 

 card et Mittag-Leffler, sur les équations différentielles linéaires à 

 coefficients doublement périodiques, et de M. Fuchs sur cerlaines 

 équations différentielles linéaires. H. D. 



