ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 43 
comme une fraction rationnelle peut être mise sous la forme dù 
quotient de deux fonctions entières ne s’annulant simultanément 
qu'aux points où la fonction est indéterminée. 
SUR LES INTÉGRALES RATIONNELLES DES ÉQUATIONS DE PREMIER ORDRE, 
par M. Pamzevé. (Comptes rendus de l'Acad, des sciences, t. CX, 
1890, p. 34-36.) 
_ Étant donnée une équation différentielle d'ordre quelconque, on 
peut toujours trouver les polynômes qui vérifient cette équation, 
en déterminant une limite supérieure de leur degré. Mais on ne 
sait que dans des cas fort rares déterminer les intégrales ayant la 
forme de fractions rationnelles. 
M. Painlevé signale un cas où l’on pourra sûrement résoudre 
cette question; c’est celui où l'équation différentielle a la forme 
. Pa) 
| 7 Or) 
P et Q étant des polynômes. 
Soit x,, y, un point commun aux deux courbes P — 0, Q = 0 
on sait reconnaitre si l'équation différentielle admet des intégrales 
holomorphes prenant pour x, la valeur y, et déterminer l’ordre 
de y — y, par rapport à x — x,. Comme la courbe cherchée 
= Rir: 
(R élant une fraction rationnelle) ne peut rencontrer la courbe 
( — o qu'aux points qui lui sont communs avec P = o, on déduit 
immédiatement de là l'ordre maximum de multiplicité du point 
(x,, Y,) considéré comme point de rencontre de y = R (x) et de 
Q (x, y) — 0. En faisant ce calcul pour tous les points (x,, y,), on 
obtient une limite supérieure y du nombre des points d’intersection 
de ces deux dernières courbes. Soient mle degré de Q, n celuides 
deux termes de R; là courbe y = R (x) étant de dégrén + 1,ona 
| u<mi(n +1) 
d’où l'on déduit une limite de n. Les intégrales R(x) se calculent 
dès lors algébriquement. 
M. Painlevé indique quelques types d'équations différentielles 
plus compliquées, dont les intégrales rationnelles peuvent ètre 
calculées d'une manière analogue. 
