44 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 
SUR L'EMPLOI DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES DANS L’ÉTUDE DE CERTAINES 
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, par M. E. Picarp. (Comptes 
rendus de l’Acad. des sciences, t. CX, 1890, p. 61-67.) 
Étant donnée ner du second ordre aux dérivées partielles 
du d'u Ou du 
ee er RO — F(n. ? 0x dy” y) 
où À, B, C sont des fonctions connues des variables indépendantes 
z ety, on pourra l'intégrer de la manière suivante. 
On mettra dans le second membre une fonction quelconque u, 
de x et y, et on cherchera l'intégrale u, de cette équation, en se 
donnant les conditions aux limites qui achèvent de la déterminer. 
Mettant ensuite uv, dans le second membre, on cherchera l’inté- 
grale uw, qui satisfait aux mêmes conditions aux limites, et ainsi 
de gite indéfiniment. 
Une distinction capitale est à faire suivant le signe de B* — AC. 
Si B° — AC est positif, les approximations successives condui- 
ront à une intégrale de l'équation (1) prenant des valeurs données 
sur le contour. Toutefois on ne peut pasaffirmer que cette De 
soit unique. 
Si B°— AC est négatif, on prendra dans le plan Ox, Oy un arc 
de courbe quelconque C ; la méthode conduira, dans une aire suf- 
Hi DABr YO 
fisamment petite, à une intégrale w, dont les dérivées =. & 
nent sur l'arc C une succession continue de valeurs assignées à 
l'avance, w prenant une valeur donnée en un point de C. On doit 
pren- 
CRUE MS : 
FERA QUEr Met n (à l'inverse de ce qui a lieu quand les 
caractéristiques sont imaginaires) restent continues quand on tra- 
verse l'arc C. en 
_ Il est intéressant de trouver les équations où une intégrale 
supposée continue ainsi que ses dérivées partielles est toujours 
déterminée par ses valeurs sur un contour fermé de dimensions 
quelconques. Telle est l'équation 
NUS a + (u,x,y) 
F étant une fonction positiveet croissant toujours en même temps 
que u. S 
L'application des théorèmes précédents unie à l'emploi du pro- 
