90 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 
passe pas par d’autres points correspondants (en dehors des points 
singuliers). 
La deuxième classe (où M. Painlevé range les surfaces de genre 
p = 3) comprend les surfaces pour lesquelles toute surface ZX 
passant par un et de S passe par (n — 1) autres points corres- 
pondants (" < ee F). Toute surface Y tangente à S en un point 
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est tangente aux points correspondants. 
La troisième classe comprend les surfaces $ (en particulier les 
surfaces de genres p — 2) pour lesquelles deux surfaces © qui 
ont un point commun avec S ont une ligne commune avec cette 
surface. | 
Cela posé, M. Painlevé peut aborder l’étude des an torriie 
rationnelles des surfaces algébriques. 
Soient S et S’ deux pareilles surfaces et 
(1) œ—=h{(2";y52 hey ay) eee 
une substitution rationnelle qui transforme $S en $’. 
Jamais cette transformation ne peut dépendre de deux paramèe- 
tres ou d’un plus grand nombre, et dans tous les cas on a 
PEPS Pi <P'i- 
Si S est de première classe, il n'existe qu’un nombre fini de 
substitutions (1) et on les détermine algébriquement. C'est aussi 
par des opérations purement algébriques qu’on peut déterminer 
toutes les surfaces S distinctes de la première classe, c’est-à-dire 
qui correspondent rationnellement à S', mais non birationnelle- 
ment. Ces surfaces S, qu’on peut toujours supposer d’un degré 
au plus égal à p',— p'+3, sont en nombre fini. 
Quand la surface S appartient à la seconde classe, on peut 
encore déterminer algébriquement toutes les substitutions (1) et 
par suite il n’en existe qu'un nombre limité. Toutes les surfaces S 
distinctes de deuxième classe qui correspondent rationnellement à 
S peuvent aussi être trouvées par des calculs algébriques. 
Enfin, lorsque $ appartient à la troisième classe (ce qui a tou- 
jours lieu si S’ appartient aussi à cette classe), la transformation (1) 
peut présenter deux types bien différents : ou bien elle dépend 
d’un paromètre et de plusieurs entiers arbitraires ; ou bien elle ne 
dépend que d’entiers arbitraires. 
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