ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES 93 
SUR LES TRANSFORMATIONS SIMPLEMENT RATIONNELLES DES SURFACES ET 
SUR UNE CLASSE D’'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, par M. PAINLEvÉ. 
(Comptes rendus de l’Acad. des sciences, t. CX, 1890, p. 226-229.) 
Le problème de la transformation rationnelle des surfaces trouve 
une application dans la théorie des équations différentielles du 
second. ordre. Soit 
(1) | F{y",y",y, (&)]= 0 
une équation dont le premier membre est un polynôme, irréduc- 
tible, en y”, y’, y. Si l’on suppose que l'intégrale générale dépende 
algébriquement des constantes, on peut la mettre d’une infinité 
de manières sous la forme 
2. 0-0 MOT 
BR, [y",y",7, (œ)], 
| VB [y",y°y, (æ)], 
R, R,, R, désignant des fractions rationnelles de y”, y! y, et choisir 
ces intégrales premières de telle façon que toute intégrale de même 
forme 
« 
ES 
Der R, [y”,y',y, (x) 
s'exprime rationnellement en «, 6, y. Les quantités x, 8, y sont 
liées par une relation algébrique 
o (&,B,y) = 0 
que M. Painlvé a appelée relation fondamentale. 
Le problème que l’auteur se pose est le suivant : 
« Reconnaître si l'intégrale de (1) dépend algébriquement des 
constantes, la relation fondamentale correspondante étant de 
genre plus grand que 1. » 
On reconnait par des calculs purement algébriques s'il en est 
ainsi, et alors l'équation s'intègre algébriquement ; ou bien l’on 
ramène l’équation aux équations linéaires. 
OBSERVATIONS SOLAIRES DU SECOND SEMESTRE DE 1889, par M. TACCuINr. 
(Comptes rendus de l’Acad. des sciences, t. OX, 1890, p. 229-230.) 
