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56 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 
Entre autres applications de cette méthode, nous citerons la 
suivante. Partant de ce théorème bien connu : 
Les plans normaux aux trajectoires des points ne droite se 
coupent suivant une droite, 
et remplaçant la droite par une file de sphères, on obtient : 
Les plans des caractéristiques suivant lesquelles les sphères d’une 
file de sphères mobiles touchent les surfaces canaux qui sont leurs 
enveloppes, passent par une même droite, 
et si l’on rejette la droite des centres à l'infini : 
Les plans normaux aux plans d'un faisceau mobile de grandeur 
invariable menés pour une position du faisceau, respectivement par 
les caractéristiques de ces plans, se coupent suivant une droite. 
SUR UNE GÉNÉRALISATION DU THÉORÈME D EULER RELATIF AUX POLYÈDRES, 
par M. PERRIN. (Comptes rendus de l’Acad. des sciences, t. CX, 
1890, p. 273-279.) 
L'auteur appelle indice d’une surface ouverte ou fermée l’excès 
(positif, nul ou négatif) du nombre n des parties, toutes simple- 
ment connexes, entre lesquelles on peut diviser la surface par un 
système arbitraire de sections, tant rentrantes que transverses, 
sur le nombre v des sections transverses de ce système. Cet excès 
[— n—v est indépendant de la disposition des sections et dépend 
uniquement de la nature de la surface. Il est égal à 1 pour une 
aire à contour simple, à 2 pour une sphère, à o pour un tore, etc. 
Si, Sur une aire à contour simple ou sur une surface simplement 
connexe on trace un système arbitraire de S lignes joignant entre 
eux ou à des points quelconques du contour n points ou sommets 
pris à volonté, et si d est le nombre des points de croisement de 
ces lignes autres que les n sommets, on a, entre l'indice I de la 
surface et les indices de diverses régions, la relation (indiquée 
par M. Perrin dès 1882) 
X=I+S+d— n. 
Appliquée à un polyèdre dont toutes les faces sont simplement 
connexes et ont par suite pour indice l’unité, cette relation donne 
la formule 
F+S—AR 
