136 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 
SUR UNE TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER 
ORDRE, par M. PAINLEVÉ. (Comptes rendus de l’Acad. des sciences, 
t. CX, 1890, p. 840-843.) : 
Soit = 
| P(y.x) 
(2) JET 
/ D (y,x) 
une équation différentielle du premier ordre où Pet Q repré- 
sentent deux polynômes en y de degré ? et 7. Si n désigne le plus 
grand des deux nombres ? et 7 + 2, la substitution 
(2) æ — 9 (x), 
où a, b, c, d sont des fonctions quelconques de x, transforme 
l’équation (1) en une équation analogue où le numérateur est de 
degré n, le dénominateur de degré (n — 2) en y. On peut toujours 
supposer l’équation (1) écrite sous cette forme, en introduisant 
au besoin des coefficients nuls. 
Pour qu’on puisse passer de l'équation (2) à une équation ana- 
logue (1°) par une substitution (2), il faut et il suffit que les deux 
on —5 invariants distincts de chaque équation soient égaux res- 
pectivement. | 
On peut ramener l'équation générale (1) à une forme réduite 
où ne figurent que 2n -5 coefficients des termes en y, coefficients 
qui sont précisément les 2n— 5 invariants distincts de l'équation 
proposée. 
Si l’on cherche les équations (1) dont l'intégrale générale ne 
prend que deux valeurs autour des points critiques mobiles, on 
trouve que ces équations sont de la forme 
(3) , + bY + y + d 
y FRE ey 2? “e ») 
ou 
(9 Ru Re ee ne 
| by + gy + 
On les ramène d’abord aux formes réduites 
(3°) By 
ou 
LA B 
(41) te amp Nr 
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