974 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES 
Ce complexe est également celui que forment les génératrices 
des surfaces (1) et de leurs surfaces homofocales. 
Ces trois familles de surfaces forment un système triple ortho- 
gonal. Les deux familles homofocales à la famille (1) sont algé- 
Te 
b 
briques lorque le rapport =: est commensurable. 
A — 
SUR LE CHANGÉMENT DE L'ORDRE DES TERMES D'UNE SÉRIE SEMI-CONVER- 
GENTE, par M. BoreL. (Bull. des sciences mathématiques, 2° série, 
t. XIV, 1890, p. 97-103.) | 
Lorsqu'une série est semi-convergente, sa valeur dépend, en 
général, de l'ordre dans lequel on écrit ses termes. Les opérations 
sur ces séries exigent des précautions très grandes. Pour se dis- 
penser de ces précautions, il faudrait connaître d’une manière 
précise les conditions pour qu'un changement dans l’ordre des 
termes d’une série convergente n’altérât pas sa somme. M. Borel 
indique, dans cet ordre d'idées, certaines conditions suffisantes qui 
peuvent être utiles. 
Si l’on considère une série à termes réels 
Ua Male see Am it 
et qu'on écrive ces termes dans un ordre différent 
Hu... Lom+k.., 
il existe par hypothèse entre les entiers m et n une correspon- 
dance univoque telle que un — vr lorsque m et n se correspon- 
dent. La différence (m — n) sera dite le déplacement du terme de 
rang M. 
Or, pour qu'un changement dans l’ordre des termes d’une série 
(semi-convergente) n’altère pas sa somme, il suffit que le produit 
du déplacement maximum des termes qui précèdent le mième par 
la valeur absolue maximum des formes qui suivent le mième ait 
pour limite zéro lorsque »m augmente indéfiniment. 
On peut donner à cet énoncé deux formes différentes peut-être 
plus commodes dans les applications : 
1° Pour qu’un changement dans l’ordre des termes d’une série 
n’altère pas sa valeur, il suffit que le produit de la valeur absolue 
du terme de rang m par le déplacement maximum des termes qui 
le précèdent tende vers zéro pour m infini; 
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1: (RES 
