vom 16. Juni 1870. 413 



Es sei 7. eine Primzahl, re x =1, und /(«) eine aus Aten Wur- 

 zeln der Einheit gebildete complexe Zahl, so ist das Produkt 

 /(rc)/(« _1 ), sowie auch alle seine conjugirten, stets real und po- 

 sitiv. Setzt man nun der Kürze halber = \x und bezeichnet 



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mit 7 eine primitive Wurzel der Primzahl A, so ist die Summe 

 dieser \x conjugirten complexen Zahlen 



M = /(«)/(«-•) +fW)f{a-y) + ... +/(«>"'-')/(«- 7 "~ , ) (9-) 



als symmetrische Funktion aller Wurzeln «, rc 2 , ... cc x ~ 1 eine nicht- 

 complexe ganze Zahl. Diese Summe M nimmt andere und andere 

 Werthe an, wenn/(«) mit anderen und anderen Einheiten multiplicirt 

 wird, das Produkt dieser \x conjugirten complexen Zahlen, welches 

 gleich der Norm iV/(«) ist, ist aber von den Einheiten, mit welchen 

 /(«) multiplicirt werden kann, ganz unabhängig. Da das Produkt die- 

 ser ix stets positiven Gröfsen unverändert bleibt, so wird nach 

 einem bekannnten Satze ihre Summe M den kleinsten Werth er- 

 halten, wenn die einzelnen Theile derselben möglichst nahe einan- 

 der gleich werden und umgekehrt, wenn M den möglichst klein- 

 sten Werth erhält, werden die conjugirten complexen Zahlen, aus 

 welchen diese Summe zusammengesetzt ist, möglichst nahe einan- 

 der gleich werden. Da die möglichst nahe Gleichheit der Werthe 

 dieser conjugirten complexen Zahlen, die wesentlichste Bedingung 

 der Einfachheit der complexen Zahl /(«) ausmacht, so definire ich: 

 Unter allen complexen Zahlen /(«)? welche nur durch hin- 

 zugefügte Einheiten sich unterscheiden, soll diejenige als 

 die einfachste betrachtet werden, für welche die Summe 

 M der mit /(«)/(« -1 ) conjugirten \x complexen Zahlen 

 den kleinsten Werth erhält. 

 Nimmt man 



/(«) — a -{- a l ct -\- a 2 cr -h ••• -h a x _ x « x_1 , 

 so erhält man für die Summe M folgenden Ausdruck 

 2M"== A(a 2 -hal-ha 2 2 -i nLi) 2 - (a+ßi +a 2 -i ha>._i) 2 (10.) 



m. vergl. meine Abhandlung in Lionvilles Journal Bd. XVI p 442, 

 welcher auch so dargestellt werden kann: 



