vom 10. October 1870. 759 



wo n, «, ß ganze Zahlen sind, welche nicht alle drei grade sein 



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können, weil sonst schon die ^Potenz von E' '(>}) sich durch Kreis- 

 theilungseinheiten ausdrücken liefse. Aus den numerischen Wer- 



10 10 10 



then der e(^), e(*h)? 0(^2) ersieht man nun sogleich, dafs die 

 drei Gröfsen 



10 10 „ 10 10 a 10 10 a 



«W - «('ii) /9 , e(vnTe(r i2 y, e(ri 2 )°e(rif 



nicht alle drei ein und dasselbe Vorzeichen haben können, aufser wenn 

 a und ß beide grade sind und darum n ungrade, n = 2v + 1. Es 



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mufs also E'(y^)' 2v+1 das Quadrat einer Einheit sein und darum 



10 10 



auch E'(r,) selbst das Quadrat einer Einheit E'W = ( e (*l)) a - 



5 10 5 5 



Setzt man nun F{y i )&{y i ) statt F(y,) und demgemäfs auch F(y I3 ) 



10 5 



s(»5) statt F(y jz ), so erhält man die Gleichung 



10 10 5 5 



- (i;H--u) , «(u.i) = F{y^F{y !Z ), 



oder entwickelt: 



— 134^ — 113k! — 155-/2 = F(y^F{y iz ) . 



Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dafs die dritte 

 Potenz eines idealen Primfaktors der 2 eine wirklich complexe 

 Zahl sei, liegt also darin, dafs es eine wirkliche complexe Zahl 



5 



F(y) gebe, welche dieser Gleichung genügt. 

 Setzt man nun 



5 5 5 5 5 5 5 



F(y) = «*J + «!»?! H- «2*3 2 H- «3*?3 -H «4*?4 -T- «5>5 5 



und entwickelt das Produkt in die Form 



5 5 10 10 10 



fmf(y i3 ) = -äy. — a.y^ -ä 2 y i2 , 



so erhält man, weil A = 134, A x = 113, A z — 155 sein mufs, 

 folgende drei Gleichungen: 



