vom 10. October 1870. 767 



Hr. Weierstrafs legte die folgende Abhandlung des Herrn 

 H. A. Schwarz zu Zürich vor: 



Über die Integration 'der partiellen Differential- 

 gleichung 



d 2 u 3 2 u 



unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeits- 

 bedingungen. 



Im August 1866 hat Hr. Weierstrafs der Königl. Akademie 

 von einer Arbeit Mittheilung gemacht, welche die conforme Ab- 

 bildung eines einfach zusammenhängenden Bereiches T auf die 

 Fläche S eines Kreises beziehungsweise auf die Fläche E einer 

 Halbebene betrifft, für den Fall, dafs die Begrenzungslinie des Be- 

 reiches T von geradlinigen Strecken oder von Kreisbogen gebildet 

 wird. Für den allgemeinen Fall wurde die Lösung der angegebe- 

 nen Abbildungsaufgabe unter der Voraussetzung, dafs es überhaupt 

 eine Lösung derselben gebe, auf die Integration einer gewöhnlichen 

 Differentialgleichung und die Bestimmung einer endlichen Anzahl 

 von Constanten zurückgeführt. 



Diese Zurückführung beruht im Wesentlichen auf folgenden 

 Betrachtungen. 



Es sei z = x-hyi eine complexe Variable, in einer Ebene 

 geometrisch dargestellt durch einen Punkt mit den rechtwinkligen 

 Coordinaten x, y. Die auf der positiven Seite der x-Axe lie- 

 gende Halbebene sei der Bereich E. Der von geradlinigen Strecken 

 oder von Kreisbogen begrenzte Bereich T sei der geometrische 

 Ort eines Punktes, durch welchen eine zweite complexe Variable 

 £ = c, -b *\i geometrisch dargestellt wird. 



Es wird vorausgesetzt, dafs für alle im Innern von E liegen- 

 den Werthe von z die Variable i als eine eindeutige analytische 

 Funktion von z mit dem Charakter einer rationalen Funktion so 

 erklärt ist, dafs vermöge der Beziehung g =f(z) der Bereich E 

 auf den Bereich T zusammenhängend und in den kleinsten Theilen 

 ähnlich abgebildet wird. 



Nun bilde man die Funktionen 



d i dt 





