7G8 Sitzimg der physikalisch-mathematischen Klasse 



Hierbei sind für die Funktion E(z) als singulare Wertlie von z 

 aufser dem Werthe z = °o alle diejenigen Wertlie im Innern und 

 auf der Begrenzung von E anzusehen, welche den der Fläche T 

 angehörenden Ecken, Windungspunkten und unendlich fernen Punk- 

 ten entsprechen. 



Für die Funktion I< (z) hingegen gehören die vorkommenden- 

 falls den unendlich fernen Punkten von T entsprechenden Werthe 

 von z nicht zu den singulären Werthen des Arguments, wenn jene 

 Punkte nicht zugleich "Windungspunkte oder Ecken von T sind. 



Die Funktion F(z) hat für alle reellen Werthe von z eben- 

 falls reelle Werthe. Es ist daher möglich, das Gebiet des Argu- 

 mentes Z, welches zufolge der ursprünglichen Erklärung der Funk- 

 tion F(z) zunächst auf die Halbebene E beschränkt ist, dadurch 

 auf die ganze Ebene auszudehnen, dafs conjugirten Werthen des 

 Argumentes z conjugirte Werthe von F(z) zugeordnet werden. 

 Hierbei ergibt sich, dafs die durch die erweiterte Definition für 

 alle Werthe der unbeschränkt veränderlichen complexen Gröfse z 

 definirte analytische Funktion F(z) in der Umgebung alier singu- 

 lären W T erthe den Charakter einer rationalen Funktion besitzt und 

 daher — nach einem Fundamentalsatze der Theorie der analyti- 

 schen Funktionen — selbst eine rationale Funktion von z ist. 



Wenn die Begrenzungslinie von T nur aus geraden Strecken 

 besteht, ergibt sich durch analoge Betrachtungen, dafs schon die 

 Funktion E(z) eine rationale Funktion ihres Argumentes ist. 



Es darf hierbei nicht übersehen werden, dafs diese Beweis- 

 führung wesentlich auf der von vorn herein gemachten Voraus- 

 setzung beruht, dafs es eine Funktion § == f(z) gebe, durch 

 welche die geforderte Abbildung vermittelt wird, — dafs es dem- 

 nach nicht erlaubt ist, hieraus umgekehrt auf die Möglichkeit der 

 Lösung der angegebenen Abbildungsaufgabe einen Schlufs zu 

 machen, bevor nicht der Nachweis geführt ist, dafs es möglich ist, 

 für jede einfach zusammenhängende von geraden Strecken oder 

 Kreisbogen begrenzte Fläche T die in die rationalen Funktionen 

 E{z) beziehungsweise F(z) eingehenden Constanten so zu bestim- 

 men, dafs allen Bedingungen der Aufgabe Genüge geschieht. 



Während es leicht ist, specielle Fälle anzugeben, für welche 

 die Bestimmung der Constanten ohne Weiteres gelingt, liegt bei der 

 betrachteten allgemeinen Aufgabe die einzige sich darbietende 



