vom 10. October 1870. 773 



5. Unter einer ebenen analytischen Linie versteht man eine 

 ebene Linie, für welche die rechtwinkligen Coordinaten x und y 

 eines beliebigen Punktes analytische Funktionen einer reellen Ver- 

 änderlichen t sind. Es sei t = t ein specieller Werth von t, so 

 ist also die Gleichung 



z = c + c 1 (t~t )-hc 2 (t — t ) 2 H in. inf. = f(t; t ) 



wo c , c x , c 2 ••• complexe Constanten von der Beschaffenheit 

 bezeichnen, dafs die Reihe für alle dem absoluten Betrage nach 

 eine gewisse Grenze nicht überschreitenden Werthe von t — t con- 

 vergirt, die allgemeine Gleichung eines Zweiges einer analytischen 

 Linie. Man betrachte ein Stück dieses Zweiges, welches so be- 

 schaffen ist, dafs für keinen im Innern desselben liegenden Punkt 



dz 



— den Werth Null annimmt. 



dt 



In der analytischen Gleichung 



können der Variablen t auch complexe Werthe beigelegt werden- 

 dann vermittelt diese Gleichung eine conforme Abbildung eines 

 Theiles der Ebene der complexen Gröfse t, welcher jene in Be- 

 tracht gezogene Strecke der reellen Axe enthält, auf einen Theil 

 der Ebene der complexen Gröfse z, welcher jenen betrachteten 

 Bogen der analytischen Linie in seinem Innern enthält. Es ist 

 auch möglich, zu beiden Seiten der geraden Strecke zwei solche 

 Theile T x und T 2 abzugrenzen, dafs für keinen Punkt im Innern 



dz 

 der so abgegrenzten Theile —- gleich Null wird. Um die Vor- 

 stellung zu fixiren, mag angenommen werden, dafs die beiden Be- 

 reiche T ± und T 2 zwei zu einander symmetrische Kreisabschnitte 

 seien. Die beiden Theile T x und T 2 werden durch die analytische 

 Funktion auf zwei zu beiden Seiten der analytischen Linie liegende 

 Theile Z x und Z 2 der Ebene der complexen Gröfse z conform 

 abgebildet. Für diese Bereiche kann also nach dem Inhalte von 

 no. 1. und no. 4. die Diffgl. Au = beliebig vorgeschriebenen 

 Grenzbedingungen gemäfs integrirt werden. 



Es ist auch umgekehrt möglich, wenn in der Ebene der com- 

 plexen Gröfse z eine analytische Linie gegeben ist, ein Gebiet 

 Z x -j- Z 2 anzugeben, welches ein Stück der analytischen Linie 



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