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in seinem Innern enthält und welches auf die Ebene der com- 

 plexen Gröfse t conform so abgebildet werden kann, dafs dem 

 Stücke der analytischen Linie eine gerade Strecke entspricht. 



Diese Eigenschaft ist für die analytischen Linien charakteris- 

 tisch. 



In einigen Fällen bietet es Vortheile , statt der Variablen t 

 die Bogenlänge s der Curve, von einem festen Punkte bis zu einem 

 beweglichen gezählt, als unabhängige Variable einzuführen. 



Es gibt zwar unendlich viele Funktionen, welche die Eigenschaft 

 haben, die Gebiete Z a und Z 2 auf zwei andere durch eine gerad- 

 linige Strecke getrennte Gebiete T 1 und T 2 conform abzubilden. 

 Werden aber die Punkte von T x und T 2 durch Symmetrie einander 

 zugeordnet, so ist das aus dieser Zuordnung hervorgehende punkt- 

 weise Entsprechen der Gebiete Z 1 und Z 2 allein von der betrach- 

 teten analytischen Linie, nicht aber von der besondern Wahl der 

 abbildenden Funktion abhängig (Vergl. Borchardt's Journal Bd. 70. 

 pag. 106 und 107). Die Möbius'sche Kreis Verwandtschaft ist ein 

 specieller Fall eines solchen Entsprechens, welcher eintritt, wenn 

 die analytische Linie ein Kreisbogen ist. 



6. Längs einer analytischen Linie L im Innern eines Bereiches 

 T, für welchen eine Funktion u im angegebenen Sinne der part. 

 Diffgl. Au = genügt, besitzt diese Funktion in Bezug auf den 

 Bogen s dieser Linie den Charakter einer ganzen Funktion. Um- 

 gekehrt: Wenn der Bogen L einer analytischen Linie einen Theil 

 der Begrenzung eines Bereiches T bildet, für welchen eine Funk- 

 tion u der Diffgl. Am = genügt, und die Werthe von u längs 

 der Linie L mit f(s) bezeichnet werden, so ist die nothwendige 

 Bedingung dafür, dafs sich die Funktion u über die Linie L hin- 

 aus analytisch fortsetzen lasse, nämlich dafs f(s) eine analytische 

 Funktion von s ist, welche für alle in Betracht kommenden Werthe 

 von s den Charakter einer ganzen Funktion besitzt, für die 

 Möglichkeit dieser analytischen Fortsetzung auch hinreichend. Ein 

 specieller Fall dieses Satzes tritt ein, wenn die Linie L eine ge- 

 rade Strecke ist, längs welcher eine Funktion u den Werth Null 

 hat. In diesem Falle nimmt die Funktion u in solchen Punkte- 

 paaren, welche in Bezug auf die Gerade symmetrisch liegen, ent- 

 gegengesetzte Werthe an, ein Satz, welcher sein Analogon in der 

 Potentialtheorie findet. 



