vom 10. October 187 0. 775 



Bei dieser Gelegenheit mag erwähnt werden, dafs, wenn die 

 Funktion /(</>) in no. 1. in Bezug auf cp an keiner Stelle den Charak- 

 ter einer ganzen Funktion besitzt, dafs in diesem Falle die Peri- 

 pherie der Kreisfläche S für die Funktion u und für die analy- 

 tische Funktion 



*w = hfi&) e ^~ d * ' mod z 



<i. 



deren reeller Theil die Funktion u ist, hinsichtlich des Bereiches 

 der Argumente dieser Funktionen eine natürliche Grenze bildet, 

 welche von der Darstellungsform unabhängig ist. 



Auf den für die Funktionentheorie wichtigen Umstand, dafs 

 der Bereich des Argumentes einer analytischen Funktion nicht 

 immer ein willkürlich auszudehnender, sondern vielmehr in vielen 

 Fällen ein bestimmt begrenzter ist, hat Hr. Weierstrafs vor 

 einigen Jahren aufmerksam gemacht. (Monatsberichte 1866 p. 617). 



7. An die vorhergehenden Erörterungen sehliefst sich eine 

 Untersuchung der Unstetigkeiten an, welche eine Funktion u in 

 einem Punkte annehmen kann, wenn der Werth der Funktion bei 

 der Annäherung an diesen Punkt dem absoluten Betrage nach 

 einen endlichen Werth nicht überschreitet. Wenn eine Funktion u 

 für das Innere eines beliebig grofsen um den Punkt z = mit dem 

 Radius R beschriebenen Kreises so erklärt werden kann, dafs sie 

 der Diffgl. A« = o im angegebenen Sinne genügt, und, wie grofs 

 auch R sein möge, dem absoluten Betrage nach die endliche Gröfse g 

 nicht überschreitet, so ist die Funktion eine Constante. Der Be- 

 weis dieses Satzes folgt aus der in no. 1. angegebenen Formel, 



v 

 wenn in derselben r durch — , /((/>) durch u (i2, tp) ersetzt und 



dann zur Grenze lim R = co übergegangen wird. 



Wenn von einer Funktion u bekannt ist, dafs dieselbe für 

 das Innere eines Bereiches T mit Ausnahme eines im Innern des- 

 selben liegenden Punktes z , (für welchen es noch ungewifs ist, 

 ob die Funktion für denselben überhaupt einen bestimmten Werth 

 hat,) im obigen Sinne der Diffgl. Au = genügt, und dafs, wenn 

 in der Umgebung von z ein beliebig kleiner Bereich abgegrenzt 

 wird, alle Werthe von u im übrigen Bereiche, wie klein auch der 

 ausgeschlossene sein möge, die endliche Gröfse g dem absoluten 



