vom 10. October 1870. 111 



allgemeinere durch eine vorhergebende conforme Abbildung stets 

 zurückgeführt werden kann. 



Wird dann die Spitze selbst zum Pol von Polarcoordinaten 

 gewählt und entspricht cp = der Tangente der Spitze, so erhält 

 man aus der Funktion u durch Subtraktion eines Ausdruckes 



C- — sin jUc/i 



bei geeigneter Bestimmung von C und \x eine auch in der Um- 

 gebung der Spitze stetige Funktion. Wird also der Gröfse r ein 

 constanter Werth von hinreichender Kleinheit beigelegt, so sind 

 für die in Betracht kommenden Werthe von cp die Änderungen 

 von u um so genauer den Änderungen von cp proportional, je 

 kleiner der Werth von r ist. 



In dieser Form gilt der Satz sowohl für den Fall einer Spitze 

 als auch für den Fall einer Ecke. 



8. Wenn für die Werthe einer Funktion u längs der Be- 

 grenzung von T Unstetigkeiten (endliche Sprünge) in einer end- 

 lichen Anzahl von Punkten der Begrenzung zugelassen werden, 

 so kann es ebenfalls nur eine Funktion geben, welche längs der 

 ganzen Begrenzung vorgeschriebene Werthe hat, nirgends unend- 

 lich grofs wird, mit Ausnahme jener Punkte stetig und eindeutig 

 ist und im Innern von T mit Ausnahme einer endlichen Anzahl 

 von Punkten im angegebenen Sinne der partiellen Diffgl. Au = 

 genügt. 



Auch gilt unter denselben Voraussetzungen noch der Satz 

 (vergl. no. 3.), dafs der Werth von u für einen inneren Punkt des 

 Gebietes stets zwischen der oberen und unteren Grenze derjeni- 

 gen Werthe liegt, welche diese Funktion auf der Begrenzung von T 

 annimmt. 



Die in no. 1. angegebene Formel stellt für die Fläche eines 

 Kreises die einzige den obigen Bedingungen genügende Funktion u 

 auch dann dar, wenn die längs der Peripherie vorgeschriebene 

 Werthenreihe /(</>) in einer endlichen Anzahl von Punkten un- 

 stetig ist. 



9. Die vorstehenden Betrachtungen erfahren keine wesentliche 

 Modifikation, wenn der Bereich T in seinem Innern Windungs- 

 punkte enthält. 



