vom 10. ctoher 1870. 779 



dem sie der ersten oder zweiten Gruppe angehören, ungrade oder 

 grade Ordnungszahlen bei. 



Dann ist die Anzahl derjenigen Punkte, welche eine Strecke 

 mit grader und eine Strecke mit ungrader Ordnungszahl trennen, 

 jedenfalls eine endliche; dieselbe kann auch gleich Null sein, wenn 

 die Begrenzungslinie aus mehr als einem geschlossenen Theile be- 

 steht. Diese Punkte mögen mit P bezeichnet werden. Nach der 

 Voraussetzung gibt es nun eine und nach dem Inhalt von no. 8. 

 nur eine einzige Funktion u, welche mit Ausnahme der Punkte P 

 und einer endlichen Anzahl anderer Punkte für den Bereich T der 

 partiellen Diffgl. Au = genügt und in allen Punkten der Be- 

 grenzung den Werth Null oder + 1 hat, jenachdem die Ordnungs- 

 zahl der Strecke, in deren Innerem der betreffende Punkt liegt, 

 grade oder ungrade ist. 



Man denke sich nun im Innern von T eine endliche Anzahl 

 analytischer Linien L gegeben, welche mit den Strecken ungrader 

 Ordnungszahl entweder keinen Punkt oder nur Endpunkte P der- 

 selben gemeinsam haben. Im letzteren Falle wird jedoch voraus- 

 gesetzt, dafs die Ordnung der etwaigen Berührung zwischen einer 

 der Linien L und einer Strecke ungrader Ordnungszahl in keinem 

 der gemeinsamen Punkte P höher sei, als die Berührung zwischen 

 derselben Strecke ungrader Ordnungszahl und der in dem Punkte 

 P anstofsenden Strecke mit grader Ordnungszahl. Für alle die- 

 jenigen Werthe, welche die oben erklärte Funktion u für die Punkte 

 der Linien L annehmen kann, gibt es eine obere Grenze, beziehungs- 

 weise ein Maximum. Diese obere Grenze q ist kleiner als & l. 

 Nach der Beweismethode des Hrn. We i er straf s, welche auch dem 

 Beweise des in no. 3. erwähnten Satzes zu Grunde liegt, gibt es 

 auf den Linien L mindestens einen Punkt Q von der Beschaffen- 

 heit, dafs, wenn von derjenigen Linie, auf welcher dieser Punkt 

 liegt, in der Umgebung desselben ein beliebig kleines Stück ab- 

 geschnitten wird, die obere Grenze aller Werthe, welche die Funk- 

 tion u für die Punkte dieses Stückes annehmen kann, ebenfalls 

 noch q ist. Man betrachte einen dieser Punkte; liegt derselbe im 

 Innern von T, so wird der Werth q wegen der Stetigkeit der 

 Funktion u in diesem Punkte erreicht; es ist q ein Maximum; da 

 nun nach no. 8. der Werth von u für jeden innern Punkt zwi- 

 schen dem Werthe und + l liegt, und keinen dieser Werthe 

 wirklich annehmen kann, so ist q kleiner als 1. 



