782 Sitzimg der physikalisoh-mäthematischen Klasse 



Es seien auf der Begrenzung von T, also längs L und L :i , 

 die Werthe für die Funktion u willkürlich vorgeschrieben; g sei 

 die obere, k sei die untere Grenze dieser Werthe; die Differenz 

 — k werde mit G bezeichnet. 



Nun nehme man 'längs L 2 eine Werthenreihe willkürlich an, 

 z. B. in allen Punkten von L 2 den Werth k, und bestimme für 

 das Gebiet T x eine Funktion Wj, welche Längs L die vorgeschrie- 

 benen Werthe, längs L, den Werth k hat und im Innern von T x 

 der Differentialgleichung Aw, = o genügt. Nach der über das Ge- 

 biet T x gemachten Voraussetzung gibt es eine solche Funktion. 



Die Werthe, welche die Funktion u x längs L x hat, denke 

 man sich fixirt und bestimme für das Gebiet T 2 eine Funktion u 2 , 

 welche längs L 3 die vorgeschriebenen Werthe hat, längs L x mit 

 der vorher bestimmten Funktion u x übereinstimmt und für welche 

 Au 2 == o ist. Nach der über das Gebiet T 2 gemachten Voraus- 

 setzung gibt es eine solche Funktion. 



Der Werth von u 2 — u x oder von u 2 — k längs L 2 ist kleiner 

 als g — k = G. 



Man bestimme nun für das Gebiet T x eine Funktion u 3 , wel- 

 che längs L die vorgeschriebenen Werthe hat, längs L 2 mit u 2 

 übereinstimmt und für welche Au 3 = ist. 



Die Differenz u z — u x ist im Innern von T x in keinem 

 Punkte negativ und dem absoluten Betrage nach kleiner als G, 

 längs L x aber nach dem erwähnten Hülfssatze kleiner als G-q l9 

 weil u 3 — Uj längs L Q den Werth Null hat und längs L 2 kleiner 

 als G ist. 



Den Werth der Funktion u z längs L x denke man sich fixirt 

 und für das Gebiet T 2 eine Funktion w 4 bestimmt, welche längs 

 L x mit u z übereinstimmt, längs L 3 die vorgeschriebenen Werthe 

 hat und für welche Au^ = ist. 



Die Differenz u i —u 2 hat längs L z den Werth Null und ist 

 längs L x , wo sie mit u 3 — u x übereinstimmt, positiv und kleiner 

 als G -q x ; daher ist im Innern von T 2 u±—u 2 nirgends negativ 

 und beständig kleiner als G • q lf längs L 2 aber kleiner als G-q t -q 2 ) 



Durch Fortsetzung dieses alternirenden Verfahrens gelangt 

 man zu einer Reihe von unendlich vielen Funktionen mit ungradem 

 und mit gradem Index. Die einen sind für das Gebiet T x , die 

 andern für das Gebiet T 2 so erklärt, dafs sie beziehlich längs L 



haben und im Innern der 





