784 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



(Dafs Au' = und Au" = erfordert einen besonderen Nach- 

 weis, weil im Allgemeinen aus der in gleichem Grade stattfinden- 

 den Convergenz einer unendlichen Reihe und der Differentiirbar- 

 keit der einzelnen Glieder nicht mit Sicherheit die Differentiirbar- 

 keit der Summe geschlossen werden kann.) 



Sowohl längs Z/ x als längs L 2 ist u' = u"; daher ist für 

 jeden Punkt von T s u' = u", weil auf der ganzen Begrenzung 

 von T* beide Funktionen' mit einander übereinstimmen. 



Es sind demnach (s. no. 2.) die beiden Funktionen u' und u" 

 Werthe derselben Funktion w, welche für das ganze Gebiet 

 T = Ti ■+■ T 2 — T* erklärt ist, im Innern desselben der partiellen 

 Differentialgleichung Au = genügt und auf der Begrenzung 

 L Q H- Z/ 3 die vorgeschriebenen Werthe annimmt. 



Hiermit ist der Beweis für die oben ausgesprochene Behaup- 

 tung geführt: unter den angegebenen Voraussetzungen ist es auch 

 für den Bereich T möglich, die partielle Differentialgleichung Am = o 

 willkürlich vorgeschriebenen Grenzbedingungen gemäfs zu inte- 

 griren. 



Durch wiederholte Anwendung des vorstehend erläuterten 

 Grenzverfahrens gelangt man, wenn es sich um eine endliche An- 

 zahl von Bereichen T 1 , T 2 • • T m handelt, welche durch Gebiete 

 von zwei Dimensionen zusammenhängen, und aus diesen Bereichen 

 ein einziger Bereich T gebildet wird, in welchem die Punkte der 

 gemeinschaftlichen Gebiete auch nur einfach gezählt werden, zu 

 einem Beweise desselben Satzes für diesen Bereich T. 



Den wesentlichen Inhalt von no. 10., 11. und 12. habe ich vor 

 Kurzem im XV. Jahrgange der Vierteljahrsschrift der Naturfor- 

 schenden Gesellschaft in Zürich, 1870 pag. 272-286 veröffentlicht. 



13. Jeder ganz im Endlichen liegende Bereich T, dessen Be- 

 grenzung ausschliefslich von geraden Strecken oder von Kreisbogen 

 gebildet wird, kann aus einer endlichen Anzahl solcher Bereiche, 

 wie der in no. 1., no. 4.«, b, c und in no. 9. betrachteten durch Zu- 

 sammensetzung so gebildet werden, wie es die Voraussetzungen 

 des in no. 12 bewiesenen Lehrsatzes erfordern. 



Durch Zuhülfenahme der unter no. 5. betrachteten Bereiche 

 wird der in no. 12. bewiesene Lehrsatz auf alle von einer endlichen 

 Anzahl von Stücken analytischer Linien begrenzten Bereiche aus- 

 gedehnt. 



