vom 10. ctoher 1870. 787 



b. Das Gebiet T ist durch Querschnitte in ein einfach zusam- 

 menhängendes Gebiet T verwandelt; es wird die Bedingung gestellt, 

 es soll die Funktion u im Innern von T eindeutig sein und beim 

 Überschreiten jedes Querschnittes sich um eine längs dieses Quer- 

 schnittes constante Gröfse ändern, während die Werthe der Ablei- 

 tungen zu beiden Seiten des Querschnitts dieselben sind. 



Wenn der Bereich T Begrenzungslinien hat, können überdiefs 

 die Werthe der Funktion u längs dieser Begrenzungslinien will- 

 kürlich vorgeschrieben sein. 



Es ist aber auch der Fall in Betracht zu ziehen, dafs der 

 Bereich T ein geschlossener ist und demnach die Funktion nur 

 durch Unstetigkeitsbedingungen zu bestimmen ist. 



16. Zunächst möge der einfachste Fall betrachtet werden. 



Es sei S ein die Ebene der complexen Gröfse £ überall nur 

 einfach bedeckender, einfach zusammenhängender Bereich. Es sei 

 z = z ein innerer Punkt desselben, in welchem die vorgeschriebene 

 Unstetigkeit von u durch den reellen Theil 8t<p(z ; z ) der Funktion 

 <K*;,*o) (s. no. 15.) ausgedrückt wird. Wenn B einen von Null 

 verschiedenen Werth hat, ziehe man von z aus nach einem Punkte 

 der Begrenzung von S eine durch keinen Punkt mehr als einmal 

 gehende Linie, durch welche der Bereich S in einen einfach zu- 

 sammenhängenden Bereich S' übergeht. 



Für den Bereich &[ ist der Werth von dlcp(z;z ) mit Aus- 

 nahme des Punktes z = z eindeutig erklärt. 



Die Differenz u — dl<p(z ; z ) ist nach der Forderung der Auf- 

 gabe für den ganzen Bereich 'S eindeutig, endlich und stetig. Die 

 Werthe dieser Funktion längs der Begrenzung von S ergeben sich 

 durch Subtraktion der Werthe von 3t(p(z;z ) von den für u vor- 

 geschriebenen Randwerthen. 



Hierdurch ist also die Differenz u — ffttpty ; z ) für das Innere 

 von S bestimmt und nach dem Vorhergehenden bestimmbar, mithin 

 auch die Funktion u selbst. 



Analog ist zu verfahren, wenn für mehr als einen Punkt im 

 Innern von S die Funktion u vorgeschriebene Unstetigkeiten an- 

 nehmen soll. 



Auf den vorhergehenden Fall kann der Fall jedes einfach 

 zusammenhängenden Bereiches T zurückgeführt werden und zwar 

 so, dafs die die Ebene nur einfach bedeckende, einfach zusammen- 

 hängende Fläche S eine Kreisfläche ist. 



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